Высшая математика » Числовые ряды » Нахождение суммы числового ряда » Нахождение суммы числового ряда. Третья часть

Нахождение суммы числового ряда. Третья часть.

В первой и второй частях этой темы мы решили шесть задач на нахождение суммы числового ряда. Здесь рассмотрим решение стандартных примеров, основная идея которых состоит в использовании формулы суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии. Также в конце страницы рассмотрим одну задачу (Демидович, №2552), который несколько выбивается из стандартной схемы.

Напомню, что если первый член геометрической прогрессии равен \(b_1\), а знаменатель её равен \(q\), то сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии такова:

\[ \begin{equation} S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \end{equation} \]

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия – последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами постоянно. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии. Для примера рассмотрим такую последовательность:

\[ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots \]

Обратите внимание, что какую бы пару соседних элементов мы не взяли, отношение последующего к предыдущему всегда будет постоянным и равным 3:

\[ \begin{aligned} & \frac{18}{6}=3;\\ & \frac{54}{18}=3;\\ & \frac{1458}{486}=3;\\ & \ldots \end{aligned} \]

Это число, т.е. 3, и есть знаменатель прогрессии. Обычно его обозначают буквой \(q\), т.е. \(q=3\). Первый элемент прогрессии \(b_1=6\). Cумму первых \(n\) членов этой прогрессии запишем с помощью формулы (1). Подставляя в неё \(b_1=6\) и \(q=3\), будем иметь:

\[ S_n=\frac{6(1-3^n)}{1-3}=-3(1-3^n)=3(3^n-1). \]

Формулу (1) можно записать и в ином виде. Так как для геометрической прогрессии \(b_n=b_1\cdot q^{n-1}\), то \(S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} b_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(b_1\cdot q^{k-1} \right)\). Формулу (1) запишем так:

\[ \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}\left(b_1\cdot q^{k-1} \right)=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \end{equation} \]

Задача №7

Условие

Найти сумму ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n+2}}\).

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac{2^{n}}{3^{n+2}}\). Составим n-ю частичную сумму этого ряда:

\[ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{27}+\frac{4}{81}+\frac{8}{243}+\frac{16}{729}+\ldots+\frac{2^n}{3^{n+2}}. \]

Обратимся к числам \(\frac{2}{27}\), \(\frac{4}{81}\), \(\frac{8}{243}\), \(\frac{16}{729}\) и т.д. Каждое последующее число получается из предыдущего умножением на \(\frac{2}{3}\). Например, \(\frac{4}{81}=\frac{2}{27}\cdot\frac{2}{3}\), \(\frac{8}{243}=\frac{4}{81}\cdot\frac{2}{3}\), \(\frac{16}{729}=\frac{8}{243}\cdot\frac{2}{3}\) и так далее. Мы имеем геометрическую прогрессию с первым членом \(b_1=\frac{2}{27}\) и знаменателем \(q=\frac{2}{3}\). А сумма \(S_n\) есть сумма первых \(n\) членов этой прогрессии, которую найдём по формуле (1):

\[ S_n=\frac{\frac{2}{27}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{27-18}=\frac{2\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{9}. \]

Честно говоря, мне кажется удобным не расписывать частичную сумму, а работать с сокращённой формой записи. Вот так:

\[ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2^k}{3^{k+2}}. \]

Так как \(2^k=2^{k-1+1}=2^{k-1}\cdot 2^1=2\cdot 2^{k-1}\) и \(3^{k+2}=3^{k-1+3}=3^{k-1}\cdot 3^3=27\cdot 3^{k-1}\), то:

\[ \frac{2^k}{3^{k+2}}=\frac{2\cdot 2^{k-1}}{27\cdot 3^{k-1}}=\frac{2}{27}\cdot \frac{2^{k-1}}{3^{k-1}}=\frac{2}{27}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}. \]

Зачем мы сделали эти преобразования? Для того, чтобы подогнать нашу частичную сумму под вид левой части формулы (2):

\[ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{2}{27}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\right)=\frac{\frac{2}{27}\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{27-18}=\frac{2\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{9}. \]

Итак, \(S_n=\frac{2\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{9}\). Теперь найдём предел \(\lim_{n\to\infty}S_n\):

\[ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right)}{9}=\frac{2\left(1-0\right)}{9}=\frac{2}{9}. \]

Ответ:

\(S=\frac{2}{9}\).

Задача №8

Условие

Найти сумму ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{7\cdot 2^{n+3}-4\cdot (-1)^{n} 3^{n-1}}{5^{n+1}}\).

Решение

Составим n-ю частичную сумму этого ряда. Поработаем с сокращённой формой записи, так как она более компактна:

\[ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{7\cdot 2^{k+3}-4\cdot (-1)^{k}3^{k-1}}{5^{k+1}}. \]

Перегруппировываем слагаемые:

\[ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{7\cdot 2^{k+3}}{5^{k+1}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{4\cdot (-1)^{k} 3^{k-1}}{5^{k+1}}= \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{7\cdot 2^4\cdot 2^{k-1}}{5^2\cdot 5^{k-1}}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{4\cdot(-1)^{k-1}\cdot(-1)\cdot 3^{k-1}}{5^2\cdot 5^{k-1}}=\\= \sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{112}{25}\cdot \left(\frac{2}{5} \right)^{k-1} \right)+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{4}{25}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)^{k-1} \right). \]

А теперь к обеим суммам применяем формулу (2):

\[ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{112}{25}\cdot \left(\frac{2}{5} \right)^{k-1} \right)+\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{4}{25}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)^{k-1} \right)=\frac{\frac{112}{25}\cdot\left(1-\left(\frac{2}{5} \right)^n\right)}{1-\frac{2}{5}}+\frac{\frac{4}{25}\cdot\left(1-\left(-\frac{3}{5} \right)^n\right)}{1-\left(-\frac{3}{5}\right)}=\\ =\frac{112\left(1-\left(\frac{2}{5} \right)^n\right)}{15}+\frac{1-\left(-\frac{3}{5} \right)^n}{10}. \]

Теперь найдём предел \(\lim_{n\to\infty}S_n\):

\[ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{112\left(1-\left(\frac{2}{5} \right)^n\right)}{15}+\frac{1-\left(-\frac{3}{5} \right)^n}{10} \right)=\frac{112\left(1-0\right)}{15}+\frac{1-0}{10}=\frac{227}{30}. \]

Ответ:

\(S=\frac{227}{30}\).

Задача №9

Условие

Найти сумму ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\).

Решение

Составим n-ю частичную сумму этого ряда. Поработаем с сокращённой формой записи, так как она более компактна:

\[ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\sqrt{k+2}-2\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right). \]

Перегруппировываем слагаемые и упрощаем сумму:

\[ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\sqrt{k+2}-2\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right) =\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{k+2}-2\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{k+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{k}=\\ =\sum\limits_{k=3}^{n+2}\sqrt{k}-2\sum\limits_{k=2}^{n+1}\sqrt{k}+\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{k}=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n+2}\sqrt{k}-1-\sqrt{2}-2\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\sqrt{k}-1-\sqrt{n+2}\right)+\sum\limits_{k=1}^{n+2}\sqrt{k}-\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}=\\ =1-\sqrt{2}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}. \]

Теперь найдём предел \(\lim_{n\to\infty}S_n\):

\[ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\sqrt{2}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=1-\sqrt{2}+\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=\\ =1-\sqrt{2}+\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)\cdot\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=1-\sqrt{2}+\lim_{n\to\infty}\frac{n+2-(n+1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=\\ =1-\sqrt{2}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=1-\sqrt{2}+0=1-\sqrt{2}. \]

Ответ:

\(S=1-\sqrt{2}\).

Задача №10

Условие

Найти сумму ряда \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\).

Решение

Для таких рядов можно применить метод сдвига и последующего переиндексирования. Составим n-ю частичную сумму этого ряда. Поработаем с сокращённой формой записи, так как она более компактна:

\[ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k} =\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{k}{2^k} \]

Поменяем индексы суммирования в сокращенной записи \(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{k}{2^k}\), сдвинув их на единицу:

\[ \frac{1}{2}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{k}{2^k} =\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{2^{k+1}} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{2^k}+\frac{1}{2^k}\right) =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}\right)=\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{k}{2^k}+\frac{n}{2^n}-\frac{n}{2^n}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k\right) =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}-\frac{n}{2^n}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k\right)=\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}-\frac{n}{2^{n+1}} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}S_n+\frac{\frac{1}{4}\cdot\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n+1}}=\\ =1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}+\frac{1}{2}S_n. \]

Таким образом, мы приходим к следующему равенству:

\[ S_n=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}+\frac{1}{2}S_n \]

Из полученного равенства имеем:

\[ S_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n} \]

Переходя к пределу, получим:

\[ \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n}\right) =2-0-0 =2. \]

Ответ:

\(S=2\).

Часть №1

Часть №2

Часть №3