Теорема Кронекера – Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть.

Решение

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера – Капелли. Нам понадобятся матрица системы \(\displaystyle{A}\) и расширенная матрица системы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\), запишем их:

Нужно найти \(\displaystyle{\rang A}\) и \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}}\). Для этого есть много способов, некоторые из которых перечислены в разделе "Ранг матрицы". Обычно для исследования таких систем применяют два метода: "Вычисление ранга матрицы по определению" или "Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований".

Способ №1. Вычисление рангов по определению.

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы \(\displaystyle{A}\). Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица \(\displaystyle{A}\) содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы \(\displaystyle{A}\) – это определитель матрицы \(\displaystyle{A}\), т.е. \(\displaystyle{\Delta A}\). Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков":

Итак, есть минор третьего порядка матрицы \(\displaystyle{A}\), который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице \(\displaystyle{A}\) всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы \(\displaystyle{A}\), среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, \(\displaystyle{\rang A=3}\).

Нам требуется найти также и \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}}\). Давайте посмотрим на структуру матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\). До черты в матрице \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) находятся элементы матрицы \(\displaystyle{A}\), причём мы выяснили, что \(\displaystyle{\Delta A\neq 0}\). Следовательно, у матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) составить мы не можем, поэтому делаем вывод: \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=3}\).

Так как \(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A}}\), то согласно теореме Кронекера – Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно). Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_3}\). Так как количество неизвестных \(\displaystyle{n=3}\), то делаем вывод: \(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A}=n}\), поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера – Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение. Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е. \(\displaystyle{\Delta A}\)) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы \(\displaystyle{A}\) является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже. Кроме того, если \(\displaystyle{\Delta A=0}\), то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного. Если \(\displaystyle{\Delta A=0}\), то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований.

Подробно это метод описан в соответствующей теме. Мы станем вычислять ранг матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\). Почему именно матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\), а не \(\displaystyle{A}\)? Дело в том, что матрица \(\displaystyle{A}\) является частью матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\), поэтому вычисляя ранг матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) мы одновременно найдем и ранг матрицы \(\displaystyle{A}\).

Мы привели матрицу \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) к ступенчатому виду. Полученная ступенчатая матрица имеет три ненулевых строки, поэтому её ранг равен 3. Следовательно, и ранг матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) равен 3, т.е. \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=3}\). Делая преобразования с элементами матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\) мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы \(\displaystyle{A}\), расположенные до черты. Матрица \(\displaystyle{A}\) также приведена к ступенчатому виду: \(\displaystyle{\left( \begin{array} {ccc} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end{array} \right)}\). Вывод: ранг матрицы \(\displaystyle{A}\) также равен 3, т.е. \(\displaystyle{\rang A=3}\).

Так как \(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A}}\), то согласно теореме Кронекера – Капелли система совместна, т.е. имеет решение. Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\) и \(\displaystyle{x_3}\). Так как количество неизвестных \(\displaystyle{n=3}\), то делаем вывод: \(\displaystyle{\rang A=\rang\widetilde{A}=n}\), поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера – Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Решение

Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований. Расширенная матрица системы: \(\displaystyle{\widetilde{A}=\left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end{array} \right)}\). Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=3}\). Матрица \(\displaystyle{A}\) (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, \(\displaystyle{\rang{A}=2}\).

Так как \(\displaystyle{\rang A\neq\rang\widetilde{A}}\), то согласно теореме Кронекера – Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).

Решение

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём. Так как система содержит \(\displaystyle{n=5}\) неизвестных, т.е. \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=\rang{A}\lt{n}}\), то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера – Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.