Непосредственное интегрирование (интегрирование по таблице и с использованием простейших свойств).
В этой теме нам потребуется таблица неопределенных интегралов.
Интегралы, которые можно взять с использованием типичных таблиц и(или) простейших свойств, довольно редки. Однако первое, что необходимо сделать, анализируя неопределённый интеграл – подумать, нельзя ли сразу использовать табличные формулы или же привести заданный интеграл к табличным формулам с помощью преобразований подынтегральной функции.
Свойства неопределённого интеграла перечислены в любом курсе высшей математики или математического анализа, поэтому тут я укажу лишь те из них, которые потребуются при решении примеров текущей темы.
Свойство №1
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. при условии \(\displaystyle{k\neq{0}}\) имеем
\[\int{k\cdot f(x)} dx = k\cdot\int {f(x)}dx\]
Свойство №2
Интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:
\[\int\left(f_1(x)\pm {f_2(x)}\right)dx=\int{f_1(x)}dx\pm\int{f_2(x)}dx\]
Задача №1
Условие
Найти \(\displaystyle{\int\left( 4\sin x-\frac{17}{x^2+9}-8x^3 + 5\right)dx}\).
Решение
Используем свойство №2:
\[
\int\left( 4\sin{x}-\frac{17}{x^2+9}-8x^3 + 5\right) dx
=\int {4\sin x} dx- \int\frac{17}{x^2+9}dx-\int{8x^3}dx + \int{5}dx
\]
Теперь вынесем постоянные множители за знаки интегралов, используя свойство №1:
\[
\int {4\sin x} dx- \int\frac{17}{x^2+9}dx-\int{8x^3}dx + \int{5}dx
=4\int \sin{x} dx-17\int\frac{dx}{x^2+9}-8\int{x^3}dx + 5\cdot\int{dx}
\]
Все интегралы, входящие в полученную сумму, табличные. Используя таблицу, получим:
\[
4\int \sin{x} dx-17\int\frac{dx}{x^2+9}-8\int{x^3}dx + 5\int{dx} = \\
=4\cdot(-\cos{x})-17\cdot\frac{1}{3}\cdot\arctg\frac{x}{3}-8\cdot\frac{x^4}{4} + 5x + C
=-4\cos{x}-\frac{17}{3}\arctg\frac{x}{3}-2x^4+5x+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-4\cos{x}-\frac{17}{3}\arctg\frac{x}{3}-2x^4+5x+C}\)
Задача №2
Условие
Найти \(\displaystyle{\int\frac{12}{\sqrt{15-7x^2}}dx}\).
Решение
Вынесем константу 12 из-под знака интеграла, а затем подгоним заданный интеграл под табличную формулу:
\[
\int\frac{12}{\sqrt{15-7x^2}}dx
=12\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{15-7x^2}}=\\
=\frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{\frac{15}{7}-x^2}}
=\frac{12}{\sqrt{7}}\cdot\arcsin\frac{x}{\sqrt{\frac{15}{7}}}+C
=\frac{12}{\sqrt{7}}\arcsin\frac{\sqrt{7}\;x}{\sqrt{15}}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{12}{\sqrt{7}}\arcsin\frac{\sqrt{7}\;x}{\sqrt{15}}+C}\).
Дополнительные примеры интегралов, найти которые можно с помощью таблицы интегралов и простейших правил интегрирования, есть в решебнике. Обратите внимание на эти задачи: 1237, 1242, 1243, 1247, 1250, 1251, 1252, 1253, 1255, 1256, 1257, 1258.