Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Вторая часть.

В первой части этой темы были подробно разобраны несколько задач. В этой части мы разберём ещё пару задач, первый из которых решим несколько иным методом, чем задачи предыдущей части.

Задача №1

Условие

Решить СЛАУ \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & 3x_1-x_2+2x_3=5;\\ & -4x_1+7x_2-x_3=-3;\\ & 2x_1+5x_2+3x_3=7. \end{aligned}\right.}\). Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Решение

Найдём ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы с помощью метода окаймляющих миноров. Поработаем с расширенной матрицей системы:

\[ \widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 2 & 5 \\ -4 & 7 & -1 & -3 \\ 2 & 5 & 3 & 7 \end{array}\right) \]

Начнём с миноров второго порядка. Возьмём минор матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2:

\[ M_2=\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -4 & 7 \end{array}\right|=21-4=17. \]

Этот минор второго порядка не равен нулю, поэтому начнем исследовать миноры третьего порядка, окаймляющие \(\displaystyle{M_2}\). Есть два минора третьего порядка, окаймляющих данный минор второго порядка. Элементы первого из них, \(\displaystyle{M_{3}^{(1)}}\) находятся на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №3. Элементы второго окаймляющего минора третьего порядка, \(\displaystyle{M_{3}^{(2)}}\), находятся на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №1, №2, №4. Вычислим эти миноры:

\[ M_{3}^{(1)}=\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\ -4 & 7 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}\right|=0; \; M_{3}^{(2)}=\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 5 \\ -4 & 7 & -3 \\ 2 & 5 & 7 \end{array}\right|=0. \]

Оба окаймляющих минора равны нулю, а последний ненулевой минор был второго порядка. Вывод: \(\displaystyle{\rang\widetilde{A}=2}\), а минор \(\displaystyle{M_2}\) – базисный минор матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\). Теперь рассмотрим матрицу системы, т.е. \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2\\ -4 & 7 & -1\\ 2 & 5 & 3\end{array}\right)}\). Минор \(\displaystyle{M_2}\), который мы рассматривали для матрицы \(\displaystyle{\widetilde{A}}\), является также минором второго порядка матрицы \(\displaystyle{A}\). Минор \(\displaystyle{M_{3}^{(1)}}\) совпадает с определителем матрицы \(\displaystyle{A}\), при этом \(\displaystyle{M_{3}^{(1)}=0}\) . Иных миноров третьего порядка у матрицы \(\displaystyle{A}\) нет. Итак, последний ненулевой минор матрицы \(\displaystyle{A}\) был второго порядка. Вывод: \(\displaystyle{\rang A=2}\), а минор \(\displaystyle{M_2}\) – базисный минор матрицы \(\displaystyle{A}\). Так как ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой, но меньше нежели количество неизвестных (т.е. меньше, чем 3), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Итак, ранги равны между собой и равны \(\displaystyle{r=2}\), количество переменных \(\displaystyle{n=3}\). Вывод: надо выбрать 2 базисных переменных и \(\displaystyle{n-r=1}\) свободную переменную.

Минор \(\displaystyle{M_2}\), элементы которого находятся в столбцах №1 и №2, является базисным минором матрицы \(\displaystyle{A}\). Столбцы №1 и №2 соответствуют переменным \(\displaystyle{x_1}\) и \(\displaystyle{x_2}\). Свободной переменной, соответственно, будет \(\displaystyle{x_3}\). Кроме того, элементы базисного минора \(\displaystyle{M_2}\) находятся в строках №1 и №2. Именно эти строки СЛАУ мы и оставим, а третью строку уберём:

\[ \left\{\begin{aligned} & 3x_1-x_2+2x_3=5;\\ & -4x_1+7x_2-x_3=-3. \end{aligned}\right. \]

Перебросим свободную переменную, т.е. \(\displaystyle{x_3}\), в правые части обоих уравнений:

\[ \left\{\begin{aligned} & 3x_1-x_2=5-2x_3;\\ & -4x_1+7x_2=-3+x_3. \end{aligned}\right. \]

А теперь решим эту систему методом Крамера:

\[ \Delta=\left|\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -4 & 7 \end{array}\right|=17;\; \Delta_{x_1}=\left|\begin{array}{cc} 5-2x_3 & -1 \\ -3+x_3 & 7 \end{array}\right|=32-13x_3;\; \Delta_{x_2}=\left|\begin{array}{cc} 3 & 5-2x_3 \\ -4 & -3+x_3 \end{array}\right|=11-5x_3.\\ x_1=\frac{\Delta_{x_1}}{\Delta}=\frac{32-13x_3}{17}=\frac{32}{17}-\frac{13}{17}x_3;\; x_2=\frac{\Delta_{x_2}}{\Delta}=\frac{11-5x_3}{17}=\frac{11}{17}-\frac{5}{17}x_3. \]

Итак, общее решение: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{32}{17}-\frac{13}{17}x_3;\\ & x_2=\frac{11}{17}-\frac{5}{17}x_3;\\ & x_3 \in R. \end{aligned}\right.}\). Чтобы найти базисное решение, свободную переменную приравняем к нулю: \(\displaystyle{x_3=0}\). Базисное решение будет таким:

\[ \left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{32}{17};\\ & x_2=\frac{11}{17};\\ & x_3=0. \end{aligned}\right. \]

Ответ:

Общее решение: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{32}{17}-\frac{13}{17}x_3;\\ & x_2=\frac{11}{17}-\frac{5}{17}x_3;\\ & x_3 \in R. \end{aligned}\right.}\), базисное решение: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{32}{17};\\ & x_2=\frac{11}{17};\\ & x_3=0. \end{aligned}\right.}\).

Задача №2

Условие

Решить СЛАУ

\[\left\{\begin{aligned} & x_1-2x_2+3x_3+4x_5=-5;\\ & 2x_1+x_2+5x_3+2x_4+9x_5=-3;\\ & 3x_1+4x_2+7x_3+4x_4+14x_5=-1;\\ & 2x_1-4x_2+6x_3+11x_5=2;\\ & -2x_1+14x_2-8x_3+4x_4-7x_5=20;\\ & -4x_1-7x_2-9x_3-6x_4-21x_5=-9. \end{aligned}\right.\]

Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Решение

Точно так же, как и в задачах предыдущей части, применим метод Гаусса:

\[ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 2 & 1 & 5 & 2 & 9 & -3\\ 3 & 4 & 7 & 4 & 14 & -1\\ 2 & -4 & 6 & 0 & 11 & 2\\ -2 & 14 & -8 & 4 & -7 & 20\\ -4 & -7 & -9 & -6 & -21 & -9 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\r_2-2r_1 \\r_3-3r_1\\r_4-2r_1\\ r_5+2r_1\\r_6+4r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 2 & 14\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 12\\ 0 & 10 & -2 & 4 & 1 & 10\\ 0 & -15 & 3 & -6 & -5 & -29 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\r_3-2r_2\\1/3\cdot{r_4}\\r_5-2r_2\\r_6+3r_2 \end{array} \rightarrow \\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) \]

Нулевую третью строку вычеркнем, а потом продолжим решение методом Гаусса:

\[ \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & -8 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ r_4+r_3\\ r_5+2r_3 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 4 & -5\\ 0 & 5 & -1 & 2 & 1 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \]

Мы привели матрицу системы и расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Ранги обеих матриц равны \(\displaystyle{r=3}\), т.е. надо выбрать 3 базисных переменных. Количество неизвестных \(\displaystyle{n=5}\), поэтому нужно выбрать \(\displaystyle{n-r=2}\) свободных переменных. Так как \(\displaystyle{r \lt{n}}\), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений). Для нахождения решений системы вновь составим "ступеньки":

На "ступеньках" стоят элементы из столбцов №1, №2, №5. Следовательно, базисными будут переменные \(\displaystyle{x_1}\), \(\displaystyle{x_2}\), \(\displaystyle{x_5}\). Свободными переменными, соответственно, будут \(\displaystyle{x_3}\), \(\displaystyle{x_4}\). Столбцы №3 и №4, соответствующие свободным переменным, перенесём за черту, при этом, конечно, не забыв сменить им знаки. Нулевые строки уберём и продолжим обратный ход метода Гаусса. Матрица до черты должна стать единичной.

\[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 4 & -5 & -3 & 0\\ 0 & 5 & 1 & 7 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-4r_3 \\ r_2-r_3\\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & -21 & -3 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 3 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ 1/5\cdot{r_2}\\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 0 & -21 & -3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+2r_2 \\ \phantom{0}\\ \phantom{0}\end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -99/5 & -13/5 & -4/5\\ 0 & 1 & 0 & 3/5 & 1/5 & -2/5\\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 & 0\end{array}\right). \]

Из последней матрицы получим общее решение: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.}\). Базисное решение найдём, приняв свободные переменные равными нулю, т.е. \(\displaystyle{x_3=0}\), \(\displaystyle{x_4=0}\):

\[ \left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right. \]

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Ответ:

Общее решение: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5}-\frac{13}{5}x_3-\frac{4}{5}x_4;\\ & x_2=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}x_3-\frac{2}{5}x_4;\\ & x_3 \in R;\\ & x_4\in R;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.}\), базисное решение: \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x_1=-\frac{99}{5};\\ & x_2=\frac{3}{5};\\ & x_3=0;\\ & x_4=0;\\ & x_5=4. \end{aligned}\right.}\).