Решение
Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{\left(3n^2+7\right)\cdot 5^{2n-1}}{4^n}\gt{0}}\). Общий член ряда содержит элементы в степени \(\displaystyle{2n-1}\) и \(\displaystyle{n}\). Кроме того, есть скобка \(\displaystyle{\left(3n^2+7\right)}\), которая несколько выбивается из общей структуры. В этом случае, честно говоря, удобней применить признак Д'Аламбера. Однако при желании можно использовать и радикальный признак Коши:
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}
=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{\left(3n^2+7\right)\cdot {5}^{2n-1}}{4^n}}
=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{3n^2+7}\cdot {5}^{2-\frac{1}{n}}}{4}
\]
Отдельно найдём предел \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3n^2+7}}\). Вычислим предел функции \(\displaystyle{y(x)=\left(3x^2+7\right)^\frac{1}{x}}\) при \(\displaystyle{x\to +\infty}\). В нахождении предела поможет правило Лопиталя. Так как \(\displaystyle{a^b=e^{b\ln{a}}}\) (\(\displaystyle{a \gt {0}}\)), то
\[
\lim_{x\to +\infty}\left(3x^2+7\right)^\frac{1}{x}
=\lim_{x\to +\infty}e^{\frac{1}{x}\cdot\ln\left(3x^2+7\right)}
=\lim_{x\to +\infty}e^{\frac{\ln\left(3x^2+7\right)}{x}}
\]
Обратимся к пределу \(\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(3x^2+7\right)}{x}}\). Мы имеем неопределённость вида \(\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\), которую раскроем с помощью правила Лопиталя:
\[
\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(3x^2+7\right)}{x}
=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]
=\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(\ln\left(3x^2+7\right)\right)'}{(x)'}=\\
=\lim_{x\to +\infty}\frac{6x}{3x^2+7}
=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{6x}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2}+\frac{7}{x^2}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{6}{x}}{3+\frac{7}{x^2}}
=\frac{0}{3+0}=0
\]
Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(3x^2+7\right)}{x}=0}\), то
\[
\lim_{x\to +\infty}\left(3x^2+7\right)^\frac{1}{x}
=e^{\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln\left(3x^2+7\right)}{x}}
=e^0
=1
\]
Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\left(3x^2+7\right)^\frac{1}{x}=1}\), то
\[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3n^2+7}
=\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+7\right)^\frac{1}{n}
=1
\]
Возвращаемся к пределу \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{3n^2+7}\cdot 5^{2-\frac{1}{n}}}{4}}\):
\[
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{3n^2+7}\cdot 5^{2-\frac{1}{n}}}{4}=\frac{1\cdot 5^{2-0}}{4}=\frac{25}{4}.
\]
Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\frac{25}{4}\gt{1}}\), то заданный ряд расходится.