AMKbook.Net Задачи должны иметь решение

Разложение рациональных дробей на простейшие (элементарные) дроби. Третья часть.

В этой части разберём разложение рациональной дроби, в знаменателе которой имеется множитель типа \(\displaystyle{\left(x^2+px+q\right)^{n}}\), где \(\displaystyle{p^2-4q\lt{0}}\). Кроме того рассмотрим пару частных случаев разложения на простейшие дроби.

Задача №1

Условие

Разложить рациональную дробь \(\displaystyle{\frac{x^6-5x^5+12x^4-5x^3+14x^2+3x+7}{(x-2)\left(x^2+1\right)^3}}\) на простейшие дроби.

Решение

\[ \frac{x^6-5x^5+12x^4-5x^3+14x^2+3x+7}{(x-2)\left(x^2+1\right)^3} =\frac{A}{x-2} + \frac{B_1x+C_1}{x^2+1} + \frac{B_2x+C_2}{\left(x^2+1\right)^2} + \frac{B_3x+C_3}{\left(x^2+1\right)^3} \]
\[ \begin{equation} x^6-5x^5+12x^4-5x^3+14x^2+3x+7 = A\left(x^2+1\right)^3 + \\ + (B_1x+C_1)(x-2)\left(x^2+1\right)^2 + (B_2x+C_2)(x-2)\left(x^2+1\right) + (B_3x+C_3)(x-2) \tag{1.1} \end{equation} \]

Для решения задачи применим метод постепенного исключения параметров. Подставляя в (1.1) значение \(\displaystyle{x=2}\), получим:

\[ 125 = 125A; \; A=1. \]

Подставляя \(\displaystyle{A=1}\) в (1.1), упрощая, а затем сокращая обе части равенства на \(\displaystyle{x-2}\), будем иметь

\[ \begin{equation} -5x^5+9x^4-5x^3+11x^2+3x+6 =(B_1x+C_1)\left(x^2+1\right)^2 + (B_2x+C_2)\left(x^2+1\right) + B_3x+C_3 \tag{1.2} \end{equation} \]

Подстановки действительных значений \(\displaystyle{x}\) уже неэффективны, однако стоит учесть, что равенство (1.2) верно и при комплексных значениях переменной. Подставляя \(\displaystyle{x=i}\), получим:

\[ -1-2i = B_3 i + C_3 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & B_3 = -2;\\ & C_3 = -1. \end{aligned}\right. \]

Подставляем в (1.2) найденные значения параметров, упрощаем, а затем сокращаем обе части равенства на \(\displaystyle{x^2+1}\):

\[ \begin{equation} -5x^2-x-2 =(B_1x+C_1)\left(x^2+1\right) + B_2x+C_2 \tag{1.3} \end{equation} \]

Подставляем \(\displaystyle{x=i}\) в (1.3):

\[ 3-i = B_2 i + C_2 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & B_2 = -1;\\ & C_2 = 3. \end{aligned}\right. \]

Подставляем в (1.3) полученные параметры, упрощаем и сокращаем на \(\displaystyle{x^2+1}\):

\[ -5 =B_1x+C_1 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & B_1 = 0;\\ & C_1 = -5. \end{aligned}\right. \]

Все параметры найдены, осталось лишь записать искомое разложение заданной рациональной дроби:

\[ \frac{x^6-5x^5+12x^4-5x^3+14x^2+3x+7}{(x-2)\left(x^2+1\right)^3} =\frac{1}{x-2} - \frac{5}{x^2+1} + \frac{-x+3}{\left(x^2+1\right)^2} + \frac{-2x-1}{\left(x^2+1\right)^3} \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{1}{x-2} - \frac{5}{x^2+1} + \frac{-x+3}{\left(x^2+1\right)^2} + \frac{-2x-1}{\left(x^2+1\right)^3}}\).

Задача №2

Условие

Разложить рациональные дроби на простейшие:

  1. \(\displaystyle{\frac{x^2}{(x-1)^8}}\);
  2. \(\displaystyle{\frac{1}{x^2\left(x^2+1\right)^2}}\).

Решение

Пункт №1

Для разложения дроби \(\displaystyle{\frac{x^2}{(x-1)^8}}\) можно, конечно, пойти стандарным путём:

\[ \frac{x^2}{(x-1)^8}=\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{A_3}{(x-1)^3}+\frac{A_4}{(x-1)^4}+\frac{A_5}{(x-1)^5}+\frac{A_6}{(x-1)^6}+\frac{A_7}{(x-1)^7}+ \frac{A_8}{(x-1)^8} \]

Затем привести к одному знаменателю, после чего применить, например, метод неопределённых коэффициентов, получив систему из восьми уравнений с восемью неизвестными, или же последовательно исключать неизвестные параметры с помощью подстановок. Но можно сделать попроще:

\[ \frac{x^2}{(x-1)^8}=\frac{x^2-1+1}{(x-1)^8} =\frac{(x-1)(x+1)+1}{(x-1)^8}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^8}+\frac{1}{(x-1)^8}=\\ =\frac{x+1}{(x-1)^7}+\frac{1}{(x-1)^8}=\frac{x-1+2}{(x-1)^7}+\frac{1}{(x-1)^8}=\\ =\frac{x-1}{(x-1)^7}+\frac{2}{(x-1)^7}+\frac{1}{(x-1)^8}=\frac{1}{(x-1)^6}+\frac{2}{(x-1)^7}+\frac{1}{(x-1)^8}. \]

Можно сделать и по-иному, сразу выделив \(\displaystyle{x-1}\):

\[ \frac{x^2}{(x-1)^8} =\frac{((x-1)+1)^2}{(x-1)^8} =\frac{(x-1)^2+2(x-1)+1}{(x-1)^8}=\\ =\frac{(x-1)^2}{(x-1)^8}+\frac{2(x-1)}{(x-1)^8}+\frac{1}{(x-1)^8} =\frac{1}{(x-1)^6}+\frac{2}{(x-1)^7}+\frac{1}{(x-1)^8} \]

Также хорош был бы вариант с заменой \(\displaystyle{t=x-1}\), однако в любом случае это быстрее, нежели стандартные методы. В задачах на разложение простейших дробей нужно избегать громоздких преобразований, если есть для этого хоть малейшая возможность.

Пункт №2

Здесь добавим и вычтем в числителе \(\displaystyle{x^2}\). Сделать это преобразование придётся дважды:

\[ \frac{1}{x^2\left(x^2+1\right)^2} =\frac{1+x^2-x^2}{x^2\left(x^2+1\right)^2} =\frac{x^2+1}{x^2(x^2+1)^2}-\frac{x^2}{x^2\left(x^2+1\right)^2}=\\ =\frac{1}{x^2\left(x^2+1\right)}-\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2} =\frac{1+x^2-x^2}{x^2\left(x^2+1\right)}-\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}=\\ =\frac{x^2+1}{x^2\left(x^2+1\right)}-\frac{x^2}{x^2\left(x^2+1\right)}-\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2} =\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}. \]

Ответ:

  1. \(\displaystyle{\frac{1}{(x-1)^6}+\frac{2}{(x-1)^7}+\frac{1}{(x-1)^8}}\)
  2. \(\displaystyle{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{(x^2+1)^2}}\)