Признак Д'Аламбера. Вторая часть.

Задача №1

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot {n!}}}\). Указать, чему равен \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot n!}}\).

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{n^n}{3^n\cdot {n!}}\gt{0}}\). Общий член ряда содержит факториалы и степени – явное указание на необходимость применения признака Д'Аламбера:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}\cdot (n+1)!}}{\frac{n^n}{3^n\cdot {n!}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}\cdot 3^n\cdot {n!}}{3^{n+1}\cdot (n+1)!\cdot {n^n}}=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}}{3(n+1)\cdot {n^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{n}}{3n^n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right) =\frac{1}{3}\cdot{e} =\frac{e}{3} \]

При вычислении данного предела был использован второй замечательный предел. Число \(\displaystyle{e}\) меньше трёх, поэтому \(\displaystyle{\frac{e}{3}\lt{1}}\). Следовательно, согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд сходится.

Однако решение на этом не закончено, ведь в условии задачи говорилось ещё про значение \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot{n!}}}\), т.е. \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n}\). Воспользуемся полученным результатом относительно сходимости нашего ряда: ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) сходится, поэтому для него выполнено необходимое условие сходимости: \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}u_n=0}\).

Кстати сказать, такой приём вычисления пределов нередко используют в контрольных работах. Сначала требуется доказать сходимость соответствующего ряда, а затем использовать тот факт, что предел общего члена сходящегося ряда равен нулю.

Ответ:

Ряд сходится, \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot {n!}}=0}\).

Задача №2

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{6^{2n+5}\left(3n^2-1\right)}{(n+3)!}}\).

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{6^{2n+5}\left(3n^2-1\right)}{(n+3)!}\gt{0}}\). Общий член ряда содержит факториалы и степени – явное указание на признак Д'Аламбера:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{6^{2n+7}\left(3(n+1)^2-1\right)}{(n+4)!}}{\frac{6^{2n+5}\left(3n^2-1\right)}{(n+3)!}}=\\ =36\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{3(n+1)^2-1}{(n+4)\left(3n^2-1\right)} =36\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{n}\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^2-\frac{1}{n^3}}{\left(1+\frac{4}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n^2}\right)} =36\cdot\frac{0}{3} =0 \]

Так как \(\displaystyle{0 \lt {1}}\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд сходится.

Ответ:

ряд сходится.

Задача №3

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}}\).

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{3\cdot {5}\cdot {7}\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot {5}\cdot {8}\cdot\ldots\cdot(3n-1)}\gt{0}}\). Так как задание общего члена ряда с помощью подобного произведения встречается впервые, то для наглядности я напишу несколько первых членов этого ряда:

\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n =\frac{3}{2}+\frac{3\cdot {5}}{2\cdot {5}}+\frac{3\cdot {5}\cdot {7}}{2\cdot {5}\cdot {8}}+\frac{3\cdot {5}\cdot {7}\cdot {9}}{2\cdot {5}\cdot {8}\cdot {11}}+\frac{3\cdot {5}\cdot {7}\cdot {9}\cdot {11}}{2\cdot {5}\cdot {8}\cdot {11}\cdot {13}}+\ldots \]

Для подобных рядов применение признака Д'Аламбера приводит к быстрому получению ответа. Запишем \(\displaystyle{u_{n+1}}\):

\[ u_{n+1} =\frac{3\cdot {5}\cdot {7}\cdot\ldots\cdot(2n+1)\cdot(2(n+1)+1)}{2\cdot {5}\cdot {8}\cdot\ldots\cdot(3n-1)\cdot(3(n+1)-1)} =\frac{3\cdot {5}\cdot {7}\cdot\ldots\cdot(2n+1)\cdot(2n+3)}{2\cdot {5}\cdot {8}\cdot\ldots\cdot(3n-1)\cdot(3n+2)} \]

Кстати сказать, записать \(\displaystyle{u_{n+1}}\) можно более коротко и красиво:

\[ u_{n+1} =\frac{3\cdot {5}\cdot {7}\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot {5}\cdot {8}\cdot\ldots\cdot(3n-1)}\cdot\frac{2n+3}{3n+2} =u_n\cdot\frac{2n+3}{3n+2} \]

Применим признак Д'Аламбера:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{u_n\cdot\frac{2n+3}{3n+2}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{3n+2} =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{3}{n}}{3+\frac{2}{n}} =\frac{2}{3} \]

Так как \(\displaystyle{\frac{2}{3} \lt {1}}\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд сходится.

Ответ:

ряд сходится.

Задача №4

Условие

Исследовать сходимость ряда \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}}\).

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}\gt{0}}\). Решение этот примера полностью аналогично решению предыдущей задачи. Я добавил данный пример сугубо из-за выражения \(\displaystyle{(2n-1)!!}\), которое читателю может быть незнакомо. Знак "!!" читается как "двойной факториал". Выражение \(\displaystyle{n!!}\) обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих \(\displaystyle{n}\), чётность которых совпадает с чётностью числа \(\displaystyle{n}\). Например, число 10 – чётное. Значит, запись \(\displaystyle{10!!}\) означает произведение всех чётных натуральных чисел, которые не превосходят 10:

\[ 10!! =2\cdot {4}\cdot {6}\cdot {8}\cdot {10} =3840 \]

Другой пример: число 7 является нечётным. Поэтому выражение \(\displaystyle{7!!}\) равно произведению всех нечётных натуральных чисел, которые не превосходят 7:

\[ 7!! =1\cdot {3}\cdot {5}\cdot {7} =105 \]

Каким бы ни был номер \(\displaystyle{n}\), выражение \(\displaystyle{2n-1}\) всегда равно нечётному числу. Таким образом, запись \(\displaystyle{(2n-1)!!}\) означает произведение всех нечётных чисел от 1 до \(\displaystyle{2n-1}\):

\[ (2n-1)!!=1\cdot {3}\cdot {5}\cdot\ldots\cdot(2n-1) \]

Общий член ряда запишется так: \(\displaystyle{u_n=\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}}\). Cоответственно, \(\displaystyle{u_{n+1}}\) будет таким:

\[ u_{n+1}=\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)\cdot(10(n+1)-9)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2(n+1)-1)}=\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)\cdot(10n+1)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}=u_n\cdot\frac{10n+1}{2n+1}. \]

Применяем признак Д'Аламбера:

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{u_n\cdot\frac{10n+1}{2n+1}}{u_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{10n+1}{2n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{10+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}} =\frac{10}{2} =5 \]

Так как \(\displaystyle{5\gt{1}}\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд расходится.

Ответ:

ряд расходится.