Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы (иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ. Метод обратной матрицы предназначен для решения тех СЛАУ, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:

Записать три матрицы: матрицу системы \(\displaystyle{A}\), матрицу неизвестных \(\displaystyle{X}\), матрицу свободных членов \(\displaystyle{B}\).
Найти обратную матрицу \(\displaystyle{A^{-1}}\).
Используя равенство \(\displaystyle{X=A^{-1}\cdot B}\) получить решение заданной СЛАУ.

Почему \(\displaystyle{X=A^{-1}\cdot B}\)?

Любую СЛАУ можно записать в матричной форме как \(\displaystyle{A\cdot{X}=B}\), где \(\displaystyle{A}\) – матрица системы, \(\displaystyle{B}\) – матрица свободных членов, \(\displaystyle{X}\) – матрица неизвестных. Пусть матрица \(\displaystyle{A^{-1}}\) существует. Умножим обе части равенства \(\displaystyle{A\cdot{X}=B}\) на матрицу \(\displaystyle{A^{-1}}\) слева:

\[A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B.\]

Так как \(\displaystyle{A^{-1}\cdot A=E}\) (\(\displaystyle{E}\) – единичная матрица), то записанное выше равенство станет таким:

\[E\cdot X=A^{-1}\cdot B.\]

Так как \(\displaystyle{E\cdot{X}=X}\), то:

\[X=A^{-1}\cdot B.\]

Задача №1

Условие

Решить СЛАУ \(\displaystyle{ \left \{ \begin{aligned} & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end{aligned} \right.}\) с помощью обратной матрицы.

Решение

Запишем матрицу системы \(\displaystyle{A}\), матрицу свободных членов \(\displaystyle{B}\) и матрицу неизвестных \(\displaystyle{X}\).

\[ A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right). \]

Найдём обратную матрицу к матрице системы, т.е. вычислим \(\displaystyle{A^{-1}}\). В задаче №2 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем \(\displaystyle{A^{-1}}\):

\[ A^{-1}=-\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right). \]

Теперь подставим все три матрицы (\(\displaystyle{X}\), \(\displaystyle{A^{-1}}\), \(\displaystyle{B}\)) в равенство \(\displaystyle{X=A^{-1}\cdot{B}}\). Затем выполним умножение матриц в правой части данного равенства.

\[ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot\left(\begin{array}{cc} 8 & -7\\ -9 & -5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {c} 29\\ -11 \end{array}\right)=\\ =-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (-11) \end{array}\right)= -\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {c} 309\\ -206 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right). \]

Итак, мы получили равенство \(\displaystyle{\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} -3\\ 2\end{array}\right)}\). Из этого равенства имеем: \(\displaystyle{x_1=-3}\), \(\displaystyle{x_2=2}\).

Ответ:

\(\displaystyle{x_1=-3}\), \(\displaystyle{x_2=2}\).

Задача №2

Условие

Решить СЛАУ \(\displaystyle{ \left\{\begin{aligned} & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end{aligned}\right.}\) методом обратной матрицы.

Решение

Запишем матрицу системы \(\displaystyle{A}\), матрицу свободных членов \(\displaystyle{B}\) и матрицу неизвестных \(\displaystyle{X}\).

\[ A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end{array}\right);\; B=\left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right);\; X=\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right). \]

Теперь настал черёд найти обратную матрицу к матрице системы, т.е. найти \(\displaystyle{A^{-1}}\). В этой задаче обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем \(\displaystyle{A^{-1}}\):

\[ A^{-1} =\frac{1}{26}\cdot \left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right). \]

Теперь подставим все три матрицы (\(\displaystyle{X}\), \(\displaystyle{A^{-1}}\), \(\displaystyle{B}\)) в равенство \(\displaystyle{X=A^{-1}\cdot {B}}\), после чего выполним умножение матриц в правой части данного равенства.

\[ \left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)= \frac{1}{26}\cdot \left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {c} -1\\0\\6\end{array}\right)=\\ =\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0+1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end{array}\right)=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {c} 0\\-104\\234\end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right) \]

Итак, мы получили равенство \(\displaystyle{\left(\begin{array} {c} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} 0\\-4\\9\end{array}\right)}\). Из этого равенства имеем: \(\displaystyle{x_1=0}\), \(\displaystyle{x_2=-4}\), \(\displaystyle{x_3=9}\).

Ответ:

\(\displaystyle{x_1=0}\), \(\displaystyle{x_2=-4}\), \(\displaystyle{x_3=9}\).

Естественно, что решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы вручную, без применения специальных программ, возможно лишь при сравнительно небольшом количестве переменных. Если СЛАУ содержит четыре и более переменных, то гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса или метод Гаусса-Жордана.