Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Вторая часть.

Решение

Обозначим \(\displaystyle{f(x,y,z)=x^2+y^2+2z^2-22}\). Для нахождения условного экстремума функции трёх переменных \(\displaystyle{u(x,y,z)}\) составим функцию Лагранжа, которая будет иметь вид:

Составляем систему уравнений:

Решая данную систему, получим две точки: \(\displaystyle{M_1(4;2;-1)}\) (при \(\displaystyle{\lambda=-\frac{1}{4}}\)) и \(\displaystyle{M_2(-4;-2;1)}\) (при \(\displaystyle{\lambda=\frac{1}{4}}\)). Процесс решения системы я скрыл под примечание.

Характер экстремума в найденных точках можно выяснить либо с помощью знака \(\displaystyle{d^2F}\), либо же с помощью угловых миноров матрицы \(\displaystyle{L}\), о чём говорилось в первой части данной темы. В этом примере и задаче №6 определим характер экстремума с помощью угловых миноров матрицы \(\displaystyle{L}\), а в задаче №7 – с помощью знака \(\displaystyle{d^2F}\). Для наглядности я запишу матрицу \(\displaystyle{L}\) в общем виде:

Находим искомые частные производные и подставляем их в матрицу \(\displaystyle{L}\):

Соответственно, матрица \(\displaystyle{L}\) будет такой: \(\displaystyle{L=\left(\begin{array}{cccc}0 & 2x & 2y & 4z\\2x & 2\lambda & 0 & 0\\2y & 0 & 2\lambda & 0\\4z & 0 & 0 & 4\lambda\end{array}\right)}\). Используем правило в первой части темы. Нам нужно найти знаки угловых миноров \(\displaystyle{H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}}\) матрицы \(\displaystyle{L}\). Параметр \(\displaystyle{m}\) равен количеству условий связи, а параметр \(\displaystyle{n}\) равен количеству переменных. В данной задаче мы имеем одно условие связи и три переменных, поэтому \(\displaystyle{m=1}\) и \(\displaystyle{n=3}\). Так как \(\displaystyle{2m+1=3}\) и \(\displaystyle{m+n=4}\), то нужно найти угловые миноры \(\displaystyle{H_3}\) и \(\displaystyle{H_4}\). Запишем эти миноры (минор \(\displaystyle{H_4}\) совпадает с определителем матрицы \(\displaystyle{L}\)). В принципе, указанные миноры несложно вычислить в общем виде, что мы и сделаем. Минор \(\displaystyle{H_3}\) вычислим с помощью готовой формулы, а минор \(\displaystyle{H_4}\) вычислим с помощью разложения по четвёртой строке:

Кстати, по полученным выражениям уже можно сделать вывод, что знак \(\displaystyle{H_3}\) противоположен знаку \(\displaystyle{\lambda}\), а \(\displaystyle{H_4\lt{0}}\). Поэтому вычислять значения указанных миноров просто нет необходимости, так как нас интересует лишь их знак. Однако в стандартных задачах типовых расчётов требуется считать до конца, поэтому вычислим значения угловых миноров \(\displaystyle{H_3}\) и \(\displaystyle{H_4}\):

Знаки \(\displaystyle{H_3(M_1)}\) и \(\displaystyle{H_4(M_1)}\) чередуются, причем знак \(\displaystyle{H_3(M_1)}\) совпадает с знаком \(\displaystyle{(-1)^{m+1}=(-1)^2=1}\), поэтому \(\displaystyle{M_1}\) – точка условного максимума. Знаки \(\displaystyle{H_3(M_2)}\) и \(\displaystyle{H_4(M_2)}\) совпадают с знаком \(\displaystyle{(-1)^{m}=(-1)^1=-1}\), поэтому \(\displaystyle{M_2}\) – точка условного минимума.

Решение

Для нахождения условного экстремума функции трёх переменных \(\displaystyle{u(x,y,z)}\) можно составить функцию Лагранжа, которая будет иметь такой вид:

Дальнейшее решение в этом случае предполагало бы составление системы уравнений, аналогичных размещённым в предыдущих задачах:

Решаем данную систему, получив точки возможного экстремума. Затем, после определения знака \(\displaystyle{d^2F}\) в каждой найденной точке, делаем выводы о наличии в означенных точках экстремумов. Однако в данном случае можно поступить проще, выразив из уравнений связи переменные \(\displaystyle{x}\) и \(\displaystyle{y}\) через \(\displaystyle{z}\). Для этого перенесём слагаемые, содержащие \(\displaystyle{z}\), в правые части уравнений связи, а затем применим метод Крамера:

Полученный результат легко истолковать с геометрической точки зрения. Уравнения \(\displaystyle{2x+y-5z=6}\) и \(\displaystyle{-x+3y-z=3}\) определяют плоскости в трёхмерном пространстве. Линия их пересечения есть прямая, параметрические уравнения которой, по сути, мы и получили выше.

Подставляя \(\displaystyle{x=2z+\frac{15}{7}}\) и \(\displaystyle{y=z+\frac{12}{7}}\) в заданную функцию \(\displaystyle{u}\), получим функцию одной переменной \(\displaystyle{z}\). Обозначим эту функцию как \(\displaystyle{f(z)}\):

Осталось найти экстремум функции \(\displaystyle{f(z)}\):

Так как \(\displaystyle{f''(z)=-2\lt{0}}\), то \(\displaystyle{z=\frac{26}{7}}\) – точка максимума функции \(\displaystyle{f(z)}\), при этом максимум равен \(\displaystyle{f_{\max}=f\left(\frac{26}{7}\right)=\frac{1030}{49}}\).

Напомню, что значения функции \(\displaystyle{f(z)}\) при заданных условиях связи совпадают с значениями функции \(\displaystyle{u(x,y,z)}\), т.е. найденный экстремум функции \(\displaystyle{f(z)}\) и есть искомым условным экстремумом функции \(\displaystyle{u(x,y,z)}\). В принципе, несложно также указать остальные координаты точки условного экстремума:

Итак, \(\displaystyle{\left(\frac{67}{7};\frac{38}{7};\frac{26}{7}\right)}\) – точка условного максимума функции \(\displaystyle{u(x,y,z)}\). Разумеется, выразить две переменные через третью представляется возможным далеко не всегда. В следующей задаче мы разберём такой случай.

Решение

Обозначим \(\displaystyle{f(x,y,z)=x^2+y^2-2}\), \(\displaystyle{g(x,y,z)=y+z-2}\). Запишем функцию Лагранжа:

Составим систему уравнений:

Из третьего уравнения имеем: \(\displaystyle{\lambda_2=-y}\); из пятого уравнения: \(\displaystyle{z=2-y}\); из четвёртого уравнения: \(\displaystyle{x=\sqrt{2-y^2}}\) (берём корень со знаком "плюс", так как по условию \(\displaystyle{x>0}\)). Отметим, что \(\displaystyle{y\neq\sqrt{2}}\), так как если бы \(\displaystyle{y=\sqrt{2}}\), то из третьего уравнения получили бы \(\displaystyle{x^2=0}\), \(\displaystyle{x=0}\). А этого быть не может, так как \(\displaystyle{x>0}\) по условию. Так как \(\displaystyle{y\neq\sqrt{2}}\), то из первого уравнения получим: \(\displaystyle{\lambda_1=-\frac{y}{2x}=-\frac{y}{2\sqrt{2-y^2}}}\). Подставляя выражения для \(\displaystyle{\lambda_1}\), \(\displaystyle{\lambda_2}\), \(\displaystyle{z}\), \(\displaystyle{x}\) во второе уравнение, получим:

Домножая обе части равенства на \(\displaystyle{\sqrt{2-y^2}}\) и упрощая, получим:

Так как по условию \(\displaystyle{y>0}\), то \(\displaystyle{1+y+\sqrt{2-y^2}>0}\), поэтому последнее равенство возможно лишь при \(\displaystyle{y-1=0}\), т.е. \(\displaystyle{y=1}\). Значения остальных переменных таковы:

Итак, получили точку \(\displaystyle{M(1;1;1)}\). Характер экстремума в данной точке можно выяснить либо с помощью знака \(\displaystyle{d^2F}\) либо же с помощью миноров матрицы \(\displaystyle{L}\), о чём говорилось в первой части данной темы. В этой задаче определим характер экстремума с помощью угловых миноров матрицы \(\displaystyle{L}\), а в следующей задаче – с помощью знака \(\displaystyle{d^2F}\). Запишем матрицу \(\displaystyle{L}\) в общем виде:

Запишем искомые частные производные и определим их значение в точке \(\displaystyle{M}\).

Подставляя \(\displaystyle{x=y=z=1}\), \(\displaystyle{\lambda_1=-\frac{1}{2}}\) и \(\displaystyle{\lambda_2=-1}\), получим:

Матрица \(\displaystyle{L}\) примет следующий вид: \(\displaystyle{L=\left(\begin{array} {ccccc} 0 & 0 & 2 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 1\\2 & 0 & -1 & 1 & 0\\2 & 1 & 1 & -1 & 1\\0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)}\). Обратимся к правилу в первой части темы. Напомню, что нам нужно найти знаки угловых миноров \(\displaystyle{H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}}\) матрицы \(\displaystyle{L}\). Параметр \(\displaystyle{m}\) равен количеству условий связи, а параметр \(\displaystyle{n}\) равен количеству переменных. В данной задаче мы имеем два условия связи и три переменных, поэтому \(\displaystyle{m=2}\) и \(\displaystyle{n=3}\). Так как \(\displaystyle{2m+1=5}\) и \(\displaystyle{m+n=5}\), то нужно найти лишь один минор \(\displaystyle{H_5}\).

Так как матрица \(\displaystyle{L}\) пятого порядка, то минор \(\displaystyle{H_5}\) совпадает с определителем матрицы \(\displaystyle{L}\). Применяя, к примеру, метод эффективного понижения порядка, будем иметь:

Так как \(\displaystyle{(-1)^{m+1}=(-1)^3=-1}\), то знаки \(\displaystyle{H_{2m+1}}\) и \(\displaystyle{(-1)^{m+1}}\) совпадают. Следовательно, функция \(\displaystyle{u}\) имеет в точке \(\displaystyle{(1;1;1)}\) условный максимум, при этом \(\displaystyle{u_{\max}=5}\). Условный экстремум функции \(\displaystyle{u}\) найден, осталось лишь записать ответ.

Решение

Применим метод множителей Лагранжа для исследования заданной функции трёх переменных. Составим функцию Лагранжа:

Запишем соответствующую систему уравнений:

Процесс решения системы (4.1) довольно громоздкий, поэтому я буду скрывать под примечания некоторые преобразования. Выберем первые два уравнения, из которых выразим \(\displaystyle{\lambda_1}\) и \(\displaystyle{\lambda_2}\), применив метод Крамера:

Рассмотрим два случая: \(\displaystyle{\Delta=0}\) и \(\displaystyle{\Delta\neq{0}}\). Если \(\displaystyle{\Delta=0}\), т.е. \(\displaystyle{y=x}\), то получим две точки: \(\displaystyle{M_1\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3}\right)}\) (при \(\displaystyle{\lambda_1=\frac{16}{9}}\), \(\displaystyle{\lambda_2=-\frac{4}{3}}\)) и \(\displaystyle{M_2(2;2;1)}\) (при \(\displaystyle{\lambda_1=4}\), \(\displaystyle{\lambda_2=-2}\)).

Если же \(\displaystyle{\Delta\neq{0}}\), т.е. \(\displaystyle{x-y\neq{0}}\), то получим:

Подставляя \(\displaystyle{\lambda_1=z^2}\) и \(\displaystyle{\lambda_2=-z}\) в систему уравнений (4.1), будем иметь:

Из данной системы получим: \(\displaystyle{z_1=\frac{4}{3}}\) и \(\displaystyle{z_2=2}\).

Если \(\displaystyle{z_1=\frac{4}{3}}\), то \(\displaystyle{\lambda_1=\frac{16}{9}}\) и \(\displaystyle{\lambda_2=-\frac{4}{3}}\). Получим две точки: \(\displaystyle{M_3\left(\frac{4}{3};\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)}\) и \(\displaystyle{M_4\left(\frac{7}{3};\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)}\).

Если \(\displaystyle{z_2=2}\), то \(\displaystyle{\lambda_1=4}\) и \(\displaystyle{\lambda_2=-2}\). Получим две точки: \(\displaystyle{M_5(1;2;2)}\) и \(\displaystyle{M_6(2;1;2)}\).

Подытожим всё вышеизложенное, записав найденные точки и соответствующие им значения \(\displaystyle{\lambda_1}\) и \(\displaystyle{\lambda_2}\):

Чтобы выяснить характер условного экстремума в данных точках, запишем \(\displaystyle{d^2F}\), предварительно найдя соответствующие частные производные:

Если в рассматриваемой точке \(\displaystyle{y=z}\), то в этой точке \(\displaystyle{d^2F=-2\left(x+\lambda_2\right)dy^2}\). Если в некоторой точке \(\displaystyle{y\neq{z}}\), то:

Теперь осталось лишь подставить в формулы для \(\displaystyle{d^2F}\) координаты найденных точек и соответствующие значения \(\displaystyle{\lambda_1}\) и \(\displaystyle{\lambda_2}\). Для удобства эти данные я поместил в таблицу: