Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Решение

Обозначим заданную область буквой \(\displaystyle{D}\). Функция \(\displaystyle{z}\) непрерывна в замкнутой области \(\displaystyle{D}\), поэтому согласно теореме Вейерштрасса существует точка, принадлежащая области \(\displaystyle{D}\), в которой функция принимает наибольшее значение, а также существует точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

При этом стоит отметить, что заданная функция дифференцируема внутри области \(\displaystyle{D}\), а также непрерывна на её границе. Это даёт нам возможность использовать указанный выше алгоритм. Сперва сделаем чертёж области \(\displaystyle{D}\), отметив на нём точки пересечения прямых \(\displaystyle{x=3}\), \(\displaystyle{y=x+1}\) и \(\displaystyle{y=0}\) (оси Ox). Для наглядности я также добавил на чертёж и те точки, которые будут возникать по ходу решения задачи.

Теперь перейдём непосредственно к нахождению наименьшего и наибольшего значений. Начнём с первого шага алгоритма, т.е. с отыскания стационарных точек, лежащих внутри области \(\displaystyle{D}\).

Первый шаг: стационарные точки внутри области \(\displaystyle{D}\)

Найдём частные производные первого порядка:

Далее, приравняв частные производные к нулю, получим стационарные точки функции \(\displaystyle{z}\), а затем выберем из них те, что лежат внутри области \(\displaystyle{D}\):

Итак, \(\displaystyle{M_1(1;1)}\) – единственная стационарная точка функции \(\displaystyle{z}\), причём эта точка лежит внутри области \(\displaystyle{D}\). Вычислим значение функции в точке \(\displaystyle{M_1}\):

А почему точка \(\displaystyle{M_1(1;1)}\) принадлежит области \(\displaystyle{D}\)?

Вопрос примечания кажется очевидным, ведь всё видно по рисунку. Однако стоит помнить, что рисунок не может служить доказательством. Рисунок – лишь иллюстрация для наглядности.

Наша область была задана с помощью уравнений прямых, которые её ограничивают. Очевидно, что эти прямые определяют треугольник, не так ли? Или не совсем очевидно? А может, нам задана иная область, ограниченная теми же прямыми:

Конечно, в условии сказано, что область замкнута, поэтому показанный рисунок неверен. Но чтобы избегать подобных неоднозначностей, области лучше задавать неравенствами. Например, так:

\[ \left \{ \begin{aligned} & 0 \le {y} \le {x+1};\\ & 0 \le {x} \le {3}. \end{aligned} \right. \]

Эти неравенства и задают область \(\displaystyle{D}\), причём задают её однозначно, не допуская никаких двусмысленностей. Для точек, расположенных внутри области \(\displaystyle{D}\), получим такую систему:

\[ \left \{ \begin{aligned} & 0 \lt {y} \lt {x+1};\\ & 0 \lt {x} \lt {3}. \end{aligned} \right. \]

Нам нужно проверить, лежит ли точка \(\displaystyle{M_1(1;1)}\) внутри области \(\displaystyle{D}\). Подставим \(\displaystyle{x=1}\) и \(\displaystyle{y=1}\) в записанную выше систему неравенств. Если оба неравенства будут выполнены, то точка лежит внутри области. Если хотя бы одно из неравенств будет не выполнено, то рассматриваемая точка либо лежит на границе области \(\displaystyle{D}\), либо вообще не принадлежит рассматриваемой области. Итак:

\[ \left \{ \begin{aligned} & 0 \lt {1} \lt {1+1};\\ & 0\lt{1} \lt {3}. \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{aligned} & 0 \lt {1} \lt {2};\\ & 0\lt{1} \lt {3}. \end{aligned} \right. \]

Оба неравенства справедливы. Точка \(\displaystyle{M_1(1;1)}\) лежит внутри области \(\displaystyle{D}\).

Теперь настал черёд исследовать поведение функции на границе области, т.е. перейти ко второму шагу алгоритма.

Второй шаг: граница области \(\displaystyle{D}\)

Граница области \(\displaystyle{D}\) состоит из отрезков трёх прямых: \(\displaystyle{y=0}\), \(\displaystyle{x=3}\) и \(\displaystyle{y=x+1}\). Исследуем функцию на этих отрезках, начав с прямой \(\displaystyle{y=0}\).

Исследование на прямой \(\displaystyle{y=0}\)

Прямая \(\displaystyle{y=0}\) (ось абсцисс) ограничивает область \(\displaystyle{D}\) при условии \(\displaystyle{-1 \le {x} \le {3}}\). Подставим \(\displaystyle{y=0}\) в заданную функцию \(\displaystyle{z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x}\):

В результате подстановки была получена функция одной переменной \(\displaystyle{f_1(x)=x^2-4x}\). Необходимо исследовать эту функцию на отрезке \(\displaystyle{-1 \le {x} \le {3}}\): найти точки, в которых функция \(\displaystyle{f_1(x)}\) может принимать наибольшее и наименьшее значения, а затем вычислить значение функции в этих точках.

Мы будем использовать стандартный алгоритм исследования на минимум и максимум для функции одной переменной на заданном отрезке: найдём критические точки внутри отрезка, затем вычислим значения функции в найденных критических точках, а также на концах отрезка. Сперва отыщем производную и приравняем её к нулю:

Значение \(\displaystyle{x=2}\) принадлежит интервалу \(\displaystyle{-1 \lt {x} \lt {3}}\). Кроме того, функция \(\displaystyle{f_1(x)}\) может принимать наибольшее и наименьшее значения на краях отрезка, т.е. при \(\displaystyle{x=-1}\) и \(\displaystyle{x=3}\). Вычислим значения функции \(\displaystyle{f_1(x)}\) в полученных точках:

В принципе, можно уже сейчас выбрать из полученных значений лишь два: минимальное и максимальное, т.е. -4 и 5. Однако оставим выбор на самый последний шаг алгоритма.

Интерпретируем полученный результат для исходной функции двух переменных \(\displaystyle{z(x,y)}\). Не забываем, что мы рассматриваем именно функцию \(\displaystyle{z(x,y)}\) при условии \(\displaystyle{y=0}\), т.е. \(\displaystyle{f_1(x)=z(x,0)}\). Например, значению \(\displaystyle{x=2}\), полученному нами при исследовании функции \(\displaystyle{f_1(x)}\), соответствует точка \(\displaystyle{M_2(2;0)}\) в области \(\displaystyle{D}\), причём \(\displaystyle{z(2;0)=f_1(2)}\).

Подчеркну особо, что значения функции \(\displaystyle{f_1(x)}\), найденные ранее, – это значения функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точках \(\displaystyle{M_2(2;0)}\), \(\displaystyle{M_3(-1;0)}\) и \(\displaystyle{M_4(3;0)}\):

В столь подробных записях обычно нет нужды, и все вычисления в дальнейшем станем записывать покороче:

Исследование на прямой \(\displaystyle{x=3}\)

Теперь обратимся к прямой \(\displaystyle{x=3}\). Эта прямая ограничивает область \(\displaystyle{D}\) при условии \(\displaystyle{0 \le {y} \le {4}}\). Подставим \(\displaystyle{x=3}\) в заданную функцию \(\displaystyle{z(x,y)}\). В результате такой подстановки мы получим функцию \(\displaystyle{f_2(y)}\):

Исследуем функцию \(\displaystyle{f_2(y)}\) на отрезке \(\displaystyle{0 \le {y} \le {4}}\) аналогично тому, как делали это ранее для функции \(\displaystyle{f_1(x)}\). Отыщем производную этой функции и приравняем её к нулю:

Значение \(\displaystyle{y=3}\) принадлежит интервалу \(\displaystyle{0 \lt {y} \lt {4}}\), поэтому к найденным ранее точкам добавим ещё и \(\displaystyle{M_5(3;3)}\). Кроме того, требуется вычислить значения функции \(\displaystyle{f_2(0)}\) и \(\displaystyle{f_2(4)}\) на концах рассматриваемого отрезка. Фактически же речь идёт о значениях функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точках \(\displaystyle{M_4(3;0)}\) и \(\displaystyle{M_6(3;4)}\). Однако вспомним, что в точке \(\displaystyle{M_4(3;0)}\) значение функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) уже было вычислено ранее, поэтому находить \(\displaystyle{f_2(0)}\) мы не станем.

Исследование на прямой \(\displaystyle{y=x+1}\)

И, наконец, рассмотрим последнюю линию, ограничивающую область \(\displaystyle{D}\), т.е. прямую \(\displaystyle{y=x+1}\). Эта прямая ограничивает область \(\displaystyle{D}\) при условии \(\displaystyle{-1 \le {x} \le {3}}\). Подставляя \(\displaystyle{y=x+1}\) в функцию \(\displaystyle{z(x,y)}\), будем иметь:

Вновь мы получили функцию одной переменной \(\displaystyle{x}\). И вновь нужно исследовать эту функцию аналогично тому, как мы делали ранее:

Значение \(\displaystyle{x=1}\) принадлежит интервалу \(\displaystyle{-1 \lt {x} \lt {3}}\). При \(\displaystyle{x=1}\) имеем \(\displaystyle{y=x+1=2}\), посему добавим к списку точек \(\displaystyle{M_7(1;2)}\).

Нам требуется найти значения \(\displaystyle{f_3(1)}\), \(\displaystyle{f_3(-1)}\), \(\displaystyle{f_3(3)}\), т.е., по факту, значения функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точках \(\displaystyle{M_7(1;2)}\), \(\displaystyle{M_3(-1;0)}\) и \(\displaystyle{M_6(3;4)}\). Напомню, что значения функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точках \(\displaystyle{M_3(-1;0)}\) и \(\displaystyle{M_6(3;4)}\) мы вычисляли ранее, посему остаётся вычислить лишь одно значение:

Второй шаг решения закончен. Мы получили семь значений функции \(\displaystyle{z(x,y)}\):

Третий шаг: выбор минимума и максимума

Обратимся к третьему шагу алгоритма. Выбирая наибольшее и наименьшее значения из тех чисел, что были получены на предыдущем шаге, будем иметь:

Дополнительно можно отметить, что минимум был достигнут в точке \(\displaystyle{M_2(2;0)}\), а максимум – в точке \(\displaystyle{M_4(3;0)}\). Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Решение

Начнём с построения чертежа, на котором отметим точки пересечения заданных линий. Кроме того, я заранее проставлю точки, которые будут использованы в решении.

Первый шаг: стационарные точки внутри области \(\displaystyle{D}\)

Из второго уравнения системы имеем \(\displaystyle{y=x}\). Далее из первого уравнения получаем \(\displaystyle{x^2-x=0}\), откуда \(\displaystyle{x=0}\) или \(\displaystyle{x=1}\), т.е. стационарными точками будут \(\displaystyle{(0;0)}\) и \(\displaystyle{(1;1)}\).

Внутри области \(\displaystyle{D}\) лежит лишь точка \(\displaystyle{M_1(1;1)}\). Точка \(\displaystyle{(0;0)}\) принадлежит границе области, посему на первом шаге мы её рассматривать не станем (она появится в решении позже). Найдём значение функции в точке \(\displaystyle{M_1}\):

Второй шаг: граница области \(\displaystyle{D}\)

Граница области \(\displaystyle{D}\) состоит из отрезков двух прямых (\(\displaystyle{x=0}\) и \(\displaystyle{y=2}\)), а также дуги параболы \(\displaystyle{y=\frac{x^2}{2}}\).

Исследование на прямой \(\displaystyle{x=0}\)

Прямая \(\displaystyle{x=0}\) ограничивает область \(\displaystyle{D}\) при условии \(\displaystyle{0 \le {y} \le {2}}\). Подставляя \(\displaystyle{x=0}\) в заданную функцию \(\displaystyle{z(x,y)}\), получим функцию \(\displaystyle{f_1(y)}\):

В принципе, тут можно пойти стандартным путём: найти производную и приравнять её к нулю, получив при этом значение \(\displaystyle{y=0}\), не принадлежащее интервалу \(\displaystyle{0 \lt {y} \lt {2}}\). Однако исследование можно сократить, если учесть, что функция \(\displaystyle{f_1(y)=3y^2}\) возрастает при \(\displaystyle{y\ge{0}}\), посему она будет принимать наименьшее и наибольшее значения на концах отрезка, т.е. в точках \(\displaystyle{y=0}\) и \(\displaystyle{y=2}\).

Таким образом, нам остаётся вычислить значения функции \(\displaystyle{f_1(0)}\) и \(\displaystyle{f_1(2)}\). Не забываем, что \(\displaystyle{f_1(0)}\) – это значение функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точке \(\displaystyle{M_2(0;0)}\), а \(\displaystyle{f_1(2)}\) – значение функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точке \(\displaystyle{M_3(0;2)}\).

Исследование на прямой \(\displaystyle{y=2}\)

Прямая \(\displaystyle{y=2}\) ограничивает область \(\displaystyle{D}\) при условии \(\displaystyle{0 \le {x} \le {2}}\).

Значение \(\displaystyle{x=\sqrt{2}}\) принадлежит интервалу \(\displaystyle{0 \lt {x} \lt {2}}\), а значение \(\displaystyle{x=-\sqrt{2}}\) – нет. К списку точек допишем \(\displaystyle{M_4(\sqrt{2};2)}\).

Нам требуется найти значения \(\displaystyle{f_2(\sqrt{2})}\), \(\displaystyle{f_2(0)}\), \(\displaystyle{f_2(2)}\), т.е. значения функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точках \(\displaystyle{M_4(\sqrt{2};2)}\), \(\displaystyle{M_3(0;2)}\) и \(\displaystyle{M_5(2;2)}\). Напомню, что значение функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точке \(\displaystyle{M_3(0;2)}\) было найдено ранее.

Исследование на параболе \(\displaystyle{y=\frac{x^2}{2}}\)

Парабола \(\displaystyle{y=\frac{x^2}{2}}\) ограничивает область \(\displaystyle{D}\) при условии \(\displaystyle{0 \le {x} \le {2}}\).

Значение \(\displaystyle{x=1}\) принадлежит интервалу \(\displaystyle{0 \lt {x} \lt {2}}\), а значение \(\displaystyle{x=0}\) – нет. Так как при \(\displaystyle{x=1}\) имеем \(\displaystyle{y=\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}}\), то к списку точек допишем \(\displaystyle{M_6\left(1; \frac{1}{2}\right)}\).

Нам нужно вычислить значения \(\displaystyle{f_3(1)}\), \(\displaystyle{f_3(0)}\) и \(\displaystyle{f_3(2)}\), т.е. значения функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точках \(\displaystyle{M_6\left(1; \frac{1}{2}\right)}\), \(\displaystyle{M_2(0;0)}\) и \(\displaystyle{M_5(2;2)}\). Значения функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точках \(\displaystyle{M_2}\) и \(\displaystyle{M_5}\) были найдены ранее.

Второй шаг решения закончен. Мы получили шесть значений функции \(\displaystyle{z(x,y)}\):

Третий шаг: выбор минимума и максимума

Выбирая наибольшее и наименьшее значения из тех чисел, что были получены на предыдущем шаге, будем иметь:

Дополнительно отметим, что минимум был достигнут в точке \(\displaystyle{M_1(1;1)}\), а максимум – в точке \(\displaystyle{M_3(0;2)}\). Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Решение

Сначала построим чертёж. Уравнение \(\displaystyle{x^2+y^2=25}\) (это граничная линия заданной области) определяет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Неравенству \(\displaystyle{x^2+y^2 \le {25}}\) удовлетворяют все точки внутри и на упомянутой окружности.

Будем действовать по алгоритму. Найдем частные производные, а затем отыщем стационарные точки.

Мы получили стационарную точку \(\displaystyle{(6;-8)}\). Однако найденная точка не лежит внутри области \(\displaystyle{D}\). Это легко показать, даже не прибегая к помощи рисунка, так как внутренние точки области \(\displaystyle{D}\) определяются неравенством \(\displaystyle{x^2+y^2 \lt {25}}\). В точке \(\displaystyle{(6;-8)}\) имеем \(\displaystyle{x^2+y^2=100}\), т.е. упомянутое неравенство не будет выполнено. Вывод: точка \(\displaystyle{(6;-8)}\) не принадлежит области \(\displaystyle{D}\).

Переходим дальше: ко второму шагу алгоритма. Нам нужно исследовать поведение функции на границе заданной области, т.е. на окружности \(\displaystyle{x^2+y^2=25}\). Можно, конечно, выразить \(\displaystyle{y}\) через \(\displaystyle{x}\), а потом подставить полученное выражение в функцию \(\displaystyle{z(x,y)}\). Из уравнения окружности получим: \(\displaystyle{y=\sqrt{25-x^2}}\) или \(\displaystyle{y=-\sqrt{25-x^2}}\). Подставляя, например, \(\displaystyle{y=\sqrt{25-x^2}}\) в заданную функцию, будем иметь:

Дальнейшее решение будет полностью идентично исследованию поведения функции на границе области в задаче №1. Однако мне кажется более разумным в этой ситуации применить метод Лагранжа. Нас будет интересовать лишь первая часть данного метода. После применения первой части метода Лагранжа мы получим точки, в которых и исследуем функцию \(\displaystyle{z}\) на предмет минимального и максимального значений.

Составляем функцию Лагранжа:

Находим частные производные функции Лагранжа и составляем соответствующую систему уравнений:

Для решения этой системы сразу отметим, что \(\displaystyle{\lambda\neq {-1}}\) (это пригодится в дальнейшем). Это легко обосновать, если подставить \(\displaystyle{\lambda=-1}\) в первое уравнение:

Полученное противоречие говорит о том, что значение \(\displaystyle{\lambda=-1}\) недопустимо. Вывод: \(\displaystyle{\lambda\neq {-1}}\). Выразим \(\displaystyle{x}\) и \(\displaystyle{y}\) через \(\displaystyle{\lambda}\):

Полагаю, что тут становится очевидным, зачем ранее оговаривалось условие \(\displaystyle{\lambda\neq {-1}}\): знаменатель не может равняться нулю.

Подставим полученные выражения для \(\displaystyle{x}\) и \(\displaystyle{y}\) в третье уравнение системы, т.е. в \(\displaystyle{x^2+y^2=25}\):

Из полученного равенства следует, что \(\displaystyle{1+\lambda=2}\) или \(\displaystyle{1+\lambda=-2}\). Отсюда имеем два значения параметра \(\displaystyle{\lambda}\), а именно \(\displaystyle{\lambda_1=1}\), \(\displaystyle{\lambda_2=-3}\). Соответственно, получим и две пары значений \(\displaystyle{x}\) и \(\displaystyle{y}\):

Итак, мы имеем две точки возможного условного экстремума, т.е. \(\displaystyle{M_1(3;-4)}\) и \(\displaystyle{M_2(-3;4)}\). Найдём значения функции \(\displaystyle{z(x,y)}\) в точках \(\displaystyle{M_1}\) и \(\displaystyle{M_2}\):

На третьем шаге алгоритма следует выбрать наибольшее и наименьшее значения из тех, что мы получили на первом и втором шагах. Но в данном случае выбор невелик, т.е.

Отмечу, что исследование на границе области \(\displaystyle{D}\) можно было бы осуществить и по-иному: записав окружность в параметрической форме \(\displaystyle{\left\{\begin{aligned} & x=5\cos{t};\\ & y=5\sin{t}. \end{aligned}\right.}\), где \(\displaystyle{0\le{t}\lt{2\pi}}\). В этом случае будет получена функция

Дальнейшее исследование стандартно: нахождение производной, поиск стационарных точек и т.д.