Задача №1
Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(z=x^2+2xy-y^2-4x\) в замкнутой области, ограниченной линиями \(x=3\), \(y=0\) и \(y=x+1\).
Будем следовать указанному выше алгоритму, но для начала разберёмся с чертежом заданной области, которую обозначим буквой \(D\). Нам заданы уравнения трёх прямых, кои эту область ограничивают. Прямая \(x=3\) проходит через точку \((3;0)\) параллельно оси ординат (оси Oy). Прямая \(y=0\) – это уравнение оси абсцисс (оси Ox). Ну, а для построения прямой \(y=x+1\) найдём две точки, через которые и проведём данную прямую. Можно, конечно, подставить вместо \(x\) парочку произвольных значений. Например, подставляя \(x=10\), получим: \(y=x+1=10+1=11\). Мы нашли точку \((10;11)\), лежащую на прямой \(y=x+1\). Однако лучше отыщем те точки, в которых прямая \(y=x+1\) пересекается с линиями \(x=3\) и \(y=0\). Почему это лучше? Потому, что мы одним выстрелом уложим пару зайцев: получим две точки для построения прямой \(y=x+1\) и заодно выясним, в каких точках эта прямая пересекает иные линии, ограничивающие заданную область. Прямая \(y=x+1\) пересекает прямую \(x=3\) в точке \((3;4)\), а прямую \(y=0\) – в точке \((-1;0)\). Дабы не загромождать ход решения вспомогательными пояснениями, то вопрос о получении этих двух точек вынесу в примечание.
Как были получены точки \((3;4)\) и \((-1;0)\)?
Начнём с точки пересечения прямых \(y=x+1\) и \(x=3\). Координаты искомой точки принадлежат и первой, и второй прямой, поэтому для нахождения неизвестных координат нужно решить систему уравнений:
Решение такой системы тривиально: подставляя \(x=3\) в первое уравнение будем иметь: \(y=3+1=4\). Точка \((3;4)\) и есть искомая точка пересечения прямых \(y=x+1\) и \(x=3\).
Теперь отыщем точку пересечения прямых \(y=x+1\) и \(y=0\). Вновь составим и решим систему уравнений:
Подставляя \(y=0\) в первое уравнение, получим: \(0=x+1\), \(x=-1\). Точка \((-1;0)\) и есть искомая точка пересечения прямых \(y=x+1\) и \(y=0\) (оси абсцисс).
Всё готово для построения чертежа, который будет иметь такой вид:
Вот теперь перейдём к первому шагу алгоритма. Найдём частные производные первого порядка:
Заметьте, что найденные производные первого порядка существуют для всех значений \(x\) и \(y\). Т.е. нету точек, в которых хотя бы одна производная не существует. Попробуем отыскать точки, в которых обе частные производные равны нулю (стационарные точки):
Мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Для решения таких систем можно применить, например, метод Крамера. Однако в данном случае можно поступить попроще. Из второго уравнения имеем: \(y=x\). Подставляя \(y=x\) в первое уравнение, получим: \(x+x=2\), \(2x=2\), \(x=1\). Так как \(x=1\), то \(y=x=1\). Итак, \((1;1)\) – единственная стационарная точка функции \(z\).
Однако недостаточно просто найти стационарные точки. Нужно выбрать те из них, которые принадлежат области \(D\). В нашем случае точка \((1;1)\) принадлежит этой области. Обозначим эту точку как \(M_1(1;1)\). Вычислим значение функции в этой точке:
А почему точка \((1;1)\) принадлежит области \(D\)?
Вопрос примечания кажется очевидным, ведь всё видно по рисунку. Однако стоит помнить, что рисунок не может служить доказательством. Рисунок – лишь иллюстрация для наглядности.
Наша область была задана с помощью уравнений прямых, которые её ограничивают. Очевидно, что эти прямые определяют треугольник, не так ли? Или не совсем очевидно? А может, нам задана иная область, ограниченная теми же прямыми:
Конечно, в условии сказано, что область замкнута, поэтому показанный рисунок неверен. Но чтобы избегать подобных двусмысленностей, области лучше задавать неравенствами. Нас интересует часть плоскости, расположенная под прямой \(y=x+1\)? Ок, значит, \(y \le x+1\). Наша область должна располагаться над прямой \(y=0\)? Отлично, значит \(y \ge 0\). Кстати, два последних неравенства легко объединяются в одно: \(0 \le y \le x+1\).
Далее, нас интересует часть плоскости, лежащая левее прямой \(x=3\). Эта часть плоскости задаётся неравенством \(x \le 3\). Итак, область \(D\) определяется такими неравенствами:
Эти неравенства и задают область \(D\), причём задают её однозначно, не допуская никаких двусмысленностей. Но как это поможет нам в том вопросе, что указан в начале примечания? Ещё как поможет :) Нам нужно проверить, принадлежит ли точка \(M_1(1;1)\) области \(D\). Подставим \(x=1\) и \(y=1\) в систему неравенств, которые эту область определяют. Если оба неравенства будут выполнены, то точка лежит внутри области. Если хотя бы одно из неравенств будет не выполнено, то точка области не принадлежит. Итак:
Оба неравенства справедливы. Точка \(M_1(1;1)\) приналежит области \(D\).
Теперь настал черёд исследовать поведение функции на границе области, т.е. переходим ко второму шагу алгоритма. Начнём с прямой \(y=0\).
Прямая \(y=0\) (ось абсцисс) ограничивает область \(D\) при условии \(-1 ≤ x ≤ 3\). Подставим \(y=0\) в заданную функцию \(z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x\). Полученную в результате подстановки функцию одной переменной \(x\) обозначим как \(f_1(x)\):
Теперь для функции \(f_1(x)\) нужно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке \(-1 ≤ x ≤ 3\). Отыщем производную этой функции и приравняем её к нулю:
Значение \(x=2\) принадлежит отрезку \(-1 ≤ x ≤ 3\), поэтому к списку точек добавим ещё и \(M_2(2;0)\). Кроме того, вычислим значения функции \(z\) на концах отрезка \(-1 ≤ x ≤ 3\), т.е. в точках \(M_3(-1;0)\) и \(M_4(3;0)\). Кстати, если бы точка \(M_2\) не принадлежала рассматриваемому отрезку, то, разумеется, значение функции \(z\) в ней вычислять не было бы надобности.
Итак, вычислим значения функции \(z\) в точках \(M_2\), \(M_3\), \(M_4\). Можно, конечно, подставлять координаты данных точек в исходное выражение \(z=x^2+2xy-y^2-4x\). Например, для точки \(M_2\) получим:
Однако вычисления можно немного упростить. Для этого стоит вспомнить, что на отрезке \(M_3M_4\) имеем \(z(x,y)=f_1(x)\). Распишу это подробно:
Разумеется, что в столь подробных записях обычно нет нужды, и все вычисления в дальнейшем станем записывать покороче:
Теперь обратимся к прямой \(x=3\). Эта прямая ограничивает область \(D\) при условии \(0 \le y \le 4\). Подставим \(x=3\) в заданную функцию \(z\). В результате такой подстановки мы получим функцию \(f_2(y)\):
Для функции \(f_2(y)\) нужно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке \(0 \le y \le 4\). Отыщем производную этой функции и приравняем её к нулю:
Значение \(y=3\) принадлежит отрезку \(0 \le y \le 4\), поэтому к найденным ранее точкам добавим ещё и \(M_5(3;3)\). Кроме того, нужно вычислить значение функции \(z\) в точках на концах отрезка \(0 \le y \le 4\), т.е. в точках \(M_4(3;0)\) и \(M_6(3;4)\). В точке \(M_4(3;0)\) мы уже вычисляли значение \(z\). Вычислим значение функции \(z\) в точках \(M_5\) и \(M_6\). Напомню, что на отрезке \(M_4M_6\) имеем \(z(x,y)=f_2(y)\), поэтому:
И, наконец, рассмотрим последнюю границу области \(D\), т.е. прямую \(y=x+1\). Эта прямая ограничивает область \(D\) при условии \(-1 \le x \le 3\). Подставляя \(y=x+1\) в функцию \(z\), будем иметь:
Вновь мы получили функцию одной переменной \(x\). И вновь нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке \(-1 \le x \le 3\). Отыщем производную функции \(f_{3}(x)\) и приравняем её к нулю:
Значение \(x=1\) принадлежит отрезку \(-1 \le x \le 3\). Если \(x=1\), то \(y=x+1=2\). Добавим к списку точек ещё и \(M_7(1;2)\) и выясним, чему равно значение функции \(z\) в этой точке. Точки на концах отрезка \(-1 \le x \le 3\), т.е. точки \(M_3(-1;0)\) и \(M_6(3;4)\), были рассмотрены ранее, значение функции в них мы уже находили.
Второй шаг решения закончен. Мы получили семь значений:
Обратимся к третьему шагу алгоритма. Выбирая наибольшее и наименьшее значения из тех чисел, что были получены в третьем пункте, будем иметь:
Задача решена, осталось лишь записать ответ.
\(z_{\min}=-4; \; z_{\max}=6\).