Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции \(\displaystyle{z=f(x,y)}\) в точке \(\displaystyle{M_0(x_0;y_0)}\) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные \(\displaystyle{x}\) и \(\displaystyle{y}\) в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи \(\displaystyle{\varphi (x,y)=0}\).

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие \(\displaystyle{\varphi(x,y)=0}\). Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует \(\displaystyle{y=\psi(x)}\), то подставив \(\displaystyle{y=\psi(x)}\) в \(\displaystyle{z=f(x,y)}\), получим функцию одной переменной \(\displaystyle{z=f\left(x,\psi(x)\right)}\). В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: \(\displaystyle{F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)}\) (параметр \(\displaystyle{\lambda}\) называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

\[ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end{aligned} \right. \]

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак \(\displaystyle{d^2 F=F_{xx}^{''}dx^2+2F_{xy}^{''}dxdy+F_{yy}^{''}dy^2}\). Если в стационарной точке \(\displaystyle{d^2F \gt 0}\), то функция \(\displaystyle{z=f(x,y)}\) имеет в данной точке условный минимум, если же \(\displaystyle{d^2F \lt 0}\), то условный максимум.

Есть и другой способ для определения характера экстремума. Из уравнения связи получаем: \(\displaystyle{\varphi_{x}^{'}dx+\varphi_{y}^{'}dy=0}\), \(\displaystyle{dy=-\frac{\varphi_{x}^{'}}{\varphi_{y}^{'}}dx}\), поэтому в любой стационарной точке имеем:

\[d^2 F=F_{xx}^{''}dx^2+2F_{xy}^{''}dxdy+F_{yy}^{''}dy^2=\\ =F_{xx}^{''}dx^2+2F_{xy}^{''}dx\left( -\frac{\varphi_{x}^{'}}{\varphi_{y}^{'}}dx\right)+F_{yy}^{''}\left( -\frac{\varphi_{x}^{'}}{\varphi_{y}^{'}}dx\right)^2 =-\frac{dx^2}{\left(\varphi_{y}^{'} \right)^2}\cdot\left( -(\varphi_{y}^{'})^2 F_{xx}^{''}+2\varphi_{x}^{'}\varphi_{y}^{'}F_{xy}^{''}-(\varphi_{x}^{'})^2 F_{yy}^{''} \right)\]

Второй сомножитель (расположенный в скобке) можно представить в такой форме:

\[ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{'} & \varphi_{y}^{'}\\ \varphi_{x}^{'} & \normred{F_{xx}^{''}} & \normred{F_{xy}^{''}} \\ \varphi_{y}^{'} & \normred{F_{xy}^{''}} & \normred{F_{yy}^{''}} \end{array} \right| \]

Красным цветом выделены элементы определителя \(\displaystyle{\left| \begin{array} {cc} F_{xx}^{''} & F_{xy}^{''} \\ F_{xy}^{''} & F_{yy}^{''} \end{array} \right|}\), который является гессианом функции Лагранжа. Если \(\displaystyle{H \gt 0}\), то \(\displaystyle{d^2F \lt 0}\), что указывает на условный максимум. Аналогично, при \(\displaystyle{H \lt 0}\) имеем \(\displaystyle{d^2F \gt 0}\), т.е. имеем условный минимум функции \(\displaystyle{z=f(x,y)}\).

Примечание относительно формы записи определителя \(\displaystyle{H}\)

Некоторые авторы записывают определитель \(\displaystyle{H}\) в иной форме (с знаком "-"):

\[ H=-\left|\begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{'} & \varphi_{y}^{'}\\ \varphi_{x}^{'} & F_{xx}^{''} & F_{xy}^{''} \\ \varphi_{y}^{'} & F_{xy}^{''} & F_{yy}^{''} \end{array} \right| \]

В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если \(\displaystyle{H \gt 0}\), то функция имеет условный минимум, а при \(\displaystyle{H \lt 0}\) получим условный максимум функции \(\displaystyle{z=f(x,y)}\). При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритм исследования функции двух переменных на условный экстремум

Составить функцию Лагранжа \(\displaystyle{F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)}\)
Решить систему \(\displaystyle{ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end{aligned} \right.}\)
Определить характер экстремума в каждой из найденных в предыдущем пункте стационарных точек. Для этого применить любой из указанных способов:
- Составить определитель \(\displaystyle{H}\) и выяснить его знак
- С учетом уравнения связи вычислить знак \(\displaystyle{d^2F}\)

Метод множителей Лагранжа для функций n переменных

Допустим, мы имеем функцию \(\displaystyle{n}\) переменных \(\displaystyle{z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)}\) и \(\displaystyle{m}\) уравнений связи (\(\displaystyle{n > m}\)):

\[\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.\]

Обозначив множители Лагранжа как \(\displaystyle{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m}\), составим функцию Лагранжа:

\[F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m\]

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

\[ \left\{\begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x_i}=0; (i=\overline{1,n})\\ & \varphi_j=0; (j=\overline{1,m}) \end{aligned} \right. \]

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака \(\displaystyle{d^2F}\). Если в найденной точке \(\displaystyle{d^2F \gt 0}\), то функция имеет условный минимум, если же \(\displaystyle{d^2F \lt 0}\), – то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Определитель матрицы

\[\left| \begin{array} {ccccc} \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{n}}\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_1} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{n}}\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{3} \partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}^{2}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{n}}\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}^{2}}\\ \end{array} \right|,\]

выделенной в матрице \(\displaystyle{L}\) красным цветом, есть гессиан функции Лагранжа. Используем следующее правило:

Если знаки угловых миноров \(\displaystyle{H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}}\) матрицы \(\displaystyle{L}\) совпадают с знаком \(\displaystyle{(-1)^m}\), то исследуемая стационарная точка является точкой условного минимума функции \(\displaystyle{z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)}\).
Если знаки угловых миноров \(\displaystyle{H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}}\) чередуются, причём знак минора \(\displaystyle{H_{2m+1}}\) совпадает с знаком числа \(\displaystyle{(-1)^{m+1}}\), то исследуемая стационарная точка является точкой условного максимума функции \(\displaystyle{z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)}\).

Задача №1

Условие

Найти условный экстремум функции \(\displaystyle{z(x,y)=x+3y}\) при условии \(\displaystyle{x^2+y^2=10}\).

Решение

Геометрическая интерпретация данной задачи такова: требуется найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости \(\displaystyle{z=x+3y}\) для точек ее пересечения с цилиндром \(\displaystyle{x^2+y^2=10}\).

Выразить одну переменную через другую из уравнения связи и подставить ее в функцию \(\displaystyle{z(x,y)=x+3y}\) несколько затруднительно, поэтому будем использовать метод Лагранжа.

Обозначив \(\displaystyle{\varphi(x,y)=x^2+y^2-10}\), составим функцию Лагранжа:

\[ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac{\partial F}{\partial x}=1+2\lambda x; \frac{\partial F}{\partial y}=3+2\lambda y. \]

Запишем систему уравнений для определения стационарных точек функции Лагранжа:

\[ \left \{ \begin{aligned} & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end{aligned} \right. \]

Если предположить \(\displaystyle{\lambda=0}\), то первое уравнение станет таким: \(\displaystyle{1=0}\). Полученное противоречие говорит о том, что \(\displaystyle{\lambda\neq 0}\). При условии \(\displaystyle{\lambda\neq 0}\) из первого и второго уравнений имеем: \(\displaystyle{x=-\frac{1}{2\lambda}}\), \(\displaystyle{y=-\frac{3}{2\lambda}}\). Подставляя полученные значения в третье уравнение, получим:

\[ \left( -\frac{1}{2\lambda} \right)^2+\left( -\frac{3}{2\lambda} \right)^2-10=0;\\ \frac{1}{4\lambda^2}+\frac{9}{4\lambda^2}=10; \lambda^2=\frac{1}{4}; \left[ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2};\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}. \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2}; \; x_1=-\frac{1}{2\lambda_1}=1; \; y_1=-\frac{3}{2\lambda_1}=3;\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}; \; x_2=-\frac{1}{2\lambda_2}=-1; \; y_2=-\frac{3}{2\lambda_2}=-3.\end{aligned} \]

Итак, система имеет два решения: \(\displaystyle{x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac{1}{2}}\) и \(\displaystyle{x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac{1}{2}}\). Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке: \(\displaystyle{M_1(1;3)}\) и \(\displaystyle{M_2(-1;-3)}\). Для этого вычислим определитель \(\displaystyle{H}\) в каждой из точек.

\[ \varphi_{x}^{'}=2x;\; \varphi_{y}^{'}=2y;\; F_{xx}^{''}=2\lambda;\; F_{xy}^{''}=0;\; F_{yy}^{''}=2\lambda.\\ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{'} & \varphi_{y}^{'}\\ \varphi_{x}^{'} & F_{xx}^{''} & F_{xy}^{''} \\ \varphi_{y}^{'} & F_{xy}^{''} & F_{yy}^{''} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right| \]

В точке \(\displaystyle{M_1(1;3)}\) получим:

\[H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end{array} \right|=40 > 0.\]

Следовательно, в точке \(\displaystyle{M_1(1;3)}\) функция \(\displaystyle{z(x,y)=x+3y}\) имеет условный максимум, \(\displaystyle{z_{\max}=z(1;3)=10}\).

Аналогично, в точке \(\displaystyle{M_2(-1;-3)}\) найдем:

\[H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end{array} \right|=-40\]

Так как \(\displaystyle{H \lt 0}\), то в точке \(\displaystyle{M_2(-1;-3)}\) имеем условный минимум функции \(\displaystyle{z(x,y)=x+3y}\), а именно: \(\displaystyle{z_{\min}=z(-1;-3)=-10}\).

Отмечу, что вместо вычисления значения определителя \(\displaystyle{H}\) в каждой точке, гораздо удобнее раскрыть его в общем виде. Дабы не загромождать текст подробностями, этот способ скрою под примечание.

Запись определителя \(\displaystyle{H}\) в общем виде

\[ H=8\cdot\left|\begin{array}{ccc}0 & x & y\\x &\lambda & 0\\y & 0 &\lambda\end{array}\right| =8\cdot\left(-\lambda{y^2}-\lambda{x^2}\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). \]

В принципе, уже очевидно, какой знак имеет \(\displaystyle{H}\). Так как ни одна из точек \(\displaystyle{M_1}\) или \(\displaystyle{M_2}\) не совпадает с началом координат, то \(\displaystyle{y^2+x^2>0}\). Следовательно, знак \(\displaystyle{H}\) противоположен знаку \(\displaystyle{\lambda}\). Можно и довести вычисления до конца:

\[ \begin{aligned} & H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\\ & H(M_2)=-8\cdot\frac{1}{2}\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end{aligned} \]

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках \(\displaystyle{M_1(1;3)}\) и \(\displaystyle{M_2(-1;-3)}\) можно решить и без использования определителя \(\displaystyle{H}\). Найдем знак \(\displaystyle{d^2F}\) в каждой стационарной точке:

\[ d^2 F=F_{xx}^{''}dx^2+2F_{xy}^{''}dxdy+F_{yy}^{''}dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) \]

Отмечу, что запись \(\displaystyle{dx^2}\) означает именно \(\displaystyle{dx}\), возведённый в вторую степень, т.е. \(\displaystyle{\left( dx \right)^2}\). Отсюда имеем: \(\displaystyle{dx^2+dy^2>0}\), посему при \(\displaystyle{\lambda_1=-\frac{1}{2}}\) получим \(\displaystyle{d^2F \lt 0}\). Следовательно, функция имеет в точке \(\displaystyle{M_1(1;3)}\) условный максимум. Аналогично, в точке \(\displaystyle{M_2(-1;-3)}\) получим условный минимум функции \(\displaystyle{z(x,y)=x+3y}\). Отметим, что для определения знака \(\displaystyle{d^2F}\) не пришлось учитывать связь между \(\displaystyle{dx}\) и \(\displaystyle{dy}\), ибо знак \(\displaystyle{d^2F}\) очевиден без дополнительных преобразований. В следующей задаче для определения знака \(\displaystyle{d^2F}\) уже будет необходимо учесть связь между \(\displaystyle{dx}\) и \(\displaystyle{dy}\).

Ответ:

В точке \(\displaystyle{(-1;-3)}\) функция имеет условный минимум, \(\displaystyle{z_{\min}=-10}\). В точке \(\displaystyle{(1;3)}\) функция имеет условный максимум, \(\displaystyle{z_{\max}=10}\).

Задача №2

Условие

Найти условный экстремум функции \(\displaystyle{z(x,y)=3y^3+4x^2-xy}\) при условии \(\displaystyle{x+y=0}\).

Решение

Первый способ (метод множителей Лагранжа)

Обозначив \(\displaystyle{\varphi(x,y)=x+y}\) составим функцию Лагранжа:

\[F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2-xy+\lambda(x+y).\]

\[ \frac{\partial F}{\partial x}=8x-y+\lambda; \; \frac{\partial F}{\partial y}=9y^2-x+\lambda.\\ \left \{ \begin{aligned} & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\lambda=0; \\ & x+y=0. \end{aligned} \right. \]

Решив систему, получим: \(\displaystyle{x_1=0}\), \(\displaystyle{y_1=0}\), \(\displaystyle{\lambda_1=0}\) и \(\displaystyle{x_2=\frac{10}{9}}\), \(\displaystyle{y_2=-\frac{10}{9}}\), \(\displaystyle{\lambda_2=-10}\). Имеем две стационарные точки: \(\displaystyle{M_1(0;0)}\) и \(\displaystyle{M_2 \left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9} \right)}\). Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием определителя \(\displaystyle{H}\).

\[ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{'} & \varphi_{y}^{'}\\ \varphi_{x}^{'} & F_{xx}^{''} & F_{xy}^{''} \\ \varphi_{y}^{'} & F_{xy}^{''} & F_{yy}^{''} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end{array} \right|=-10-18y \]

В точке \(\displaystyle{M_1(0;0)}\) \(\displaystyle{H=-10-18\cdot 0=-10 \lt 0}\), поэтому \(\displaystyle{M_1(0;0)}\) есть точка условного минимума функции \(\displaystyle{z(x,y)=3y^3+4x^2-xy}\), \(\displaystyle{z_{\min}=0}\). В точке \(\displaystyle{M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)}\) \(\displaystyle{H=10 > 0}\), посему в данной точке функция имеет условный максимум, \(\displaystyle{z_{\max}=\frac{500}{243}}\).

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке \(\displaystyle{d^2F}\):

\[ d^2 F=F_{xx}^{''}dx^2+2F_{xy}^{''}dxdy+F_{yy}^{''}dy^2=8dx^2-2dxdy+18ydy^2 \]

Из уравнения связи \(\displaystyle{x+y=0}\) имеем: \(\displaystyle{d(x+y)=0}\), \(\displaystyle{dx+dy=0}\), \(\displaystyle{dy=-dx}\).

\[ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 \]

Так как \(\displaystyle{d^2F \Bigr|_{M_1}=10 dx^2 \gt 0}\), то \(\displaystyle{M_1(0;0)}\) является точкой условного минимума функции \(\displaystyle{z(x,y)=3y^3+4x^2-xy}\). Аналогично, \(\displaystyle{d^2F \Bigr|_{M_2}=-10 dx^2 \lt 0}\), т.е. \(\displaystyle{M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)}\) – точка условного максимума.

Второй способ

Из уравнения связи \(\displaystyle{x+y=0}\) получим: \(\displaystyle{y=-x}\). Подставив \(\displaystyle{y=-x}\) в функцию \(\displaystyle{z(x,y)=3y^3+4x^2-xy}\), получим некоторую функцию переменной \(\displaystyle{x}\). Обозначим эту функцию как \(\displaystyle{u(x)}\):

\[ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. \]

Таким образом задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.

\[ u_{x}^{'}=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac{10}{9}; \; y_2=-x_2=-\frac{10}{9}. \]

Получили точки \(\displaystyle{M_1(0;0)}\) и \(\displaystyle{M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9}\right)}\). Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Исследуя знак \(\displaystyle{u_{xx}^{''}}\) в каждой стационарной точке или проверяя смену знака \(\displaystyle{u_{x}^{'}}\) в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом. Например, проверим знак \(\displaystyle{u_{xx}^{''}}\):

\[u_{xx}^{''}=-18x+10;\\ u_{xx}^{''}(M_1)=10;\;u_{xx}^{''}(M_2)=-10.\]

Так как \(\displaystyle{u_{xx}^{''}(M_1)>0}\), то \(\displaystyle{M_1}\) – точка минимума функции \(\displaystyle{u(x)}\), при этом \(\displaystyle{u_{\min}=u(0)=0}\). Так как \(\displaystyle{u_{xx}^{''}(M_2)\lt{0}}\), то \(\displaystyle{M_2}\) – точка максимума функции \(\displaystyle{u(x)}\), причём \(\displaystyle{u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}}\).

Значения функции \(\displaystyle{u(x)}\) при заданном условии связи совпадают с значениями функции \(\displaystyle{z(x,y)}\), т.е. найденные экстремумы функции \(\displaystyle{u(x)}\) и есть искомые условные экстремумы функции \(\displaystyle{z(x,y)}\).

Ответ:

В точке \(\displaystyle{(0;0)}\) функция имеет условный минимум, \(\displaystyle{z_{\min}=0}\). В точке \(\displaystyle{\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)}\) функция имеет условный максимум, \(\displaystyle{z_{\max}=\frac{500}{243}}\).

Рассмотрим еще одну задачу, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака \(\displaystyle{d^2F}\).

Задача №3

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(\displaystyle{z=5xy-4}\), если переменные \(\displaystyle{x}\) и \(\displaystyle{y}\) положительны и удовлетворяют уравнению связи \(\displaystyle{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0}\).

Решение

Составим функцию Лагранжа: \(\displaystyle{F=5xy-4+\lambda \left( \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1 \right)}\). Найдем стационарные точки функции Лагранжа:

\[ F_{x}^{'}=5y+\frac{\lambda x}{4}; \; F_{y}^{'}=5x+\lambda y.\\ \left \{ \begin{aligned} & 5y+\frac{\lambda x}{4}=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end{aligned} \right. \]

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом \(\displaystyle{x \gt 0; \; y \gt 0}\) (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим \(\displaystyle{\lambda=-\frac{5x}{y}}\) и подставим найденное значение в первое уравнение: \(\displaystyle{5y-\frac{5x}{y}\cdot \frac{x}{4}=0}\), \(\displaystyle{4y^2-x^2=0}\), \(\displaystyle{x=2y}\). Подставляя \(\displaystyle{x=2y}\) в третье уравнение, получим: \(\displaystyle{\frac{4y^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0}\), \(\displaystyle{y^2=1}\), \(\displaystyle{y=1}\).

Так как \(\displaystyle{y=1}\), то \(\displaystyle{x=2}\), \(\displaystyle{\lambda=-10}\). Характер экстремума в точке \(\displaystyle{(2;1)}\) определим, исходя из знака \(\displaystyle{d^2F}\).

\[ F_{xx}^{''}=\frac{\lambda}{4}; \; F_{xy}^{''}=5; \; F_{yy}^{''}=\lambda. \]

Так как \(\displaystyle{\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0}\), то:

\[ d\left( \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1\right)=0; \; d\left( \frac{x^2}{8} \right)+d\left( \frac{y^2}{2} \right)=0; \; \frac{x}{4}dx+ydy=0; \; dy=-\frac{xdx}{4y}. \]

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки \(\displaystyle{x=2}\), \(\displaystyle{y=1}\) и параметра \(\displaystyle{\lambda=-10}\), получив при этом:

\[ F_{xx}^{''}=\frac{-5}{2}; \; F_{xy}^{''}=-10; \; dy=-\frac{dx}{2}.\\ d^2 F=F_{xx}^{''}dx^2+2F_{xy}^{''}dxdy+F_{yy}^{''}dy^2=-\frac{5}{2}dx^2+10dx\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)-10\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)^2=\\ =-\frac{5}{2}dx^2-5dx^2-\frac{5}{2}dx^2=-10dx^2. \]

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше \(\displaystyle{d^2F}\) представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

\[ d^2 F=F_{xx}^{''}dx^2+2F_{xy}^{''}dxdy+F_{yy}^{''}dy^2=\frac{\lambda}{4}dx^2+10\cdot dx\cdot \frac{-xdx}{4y} +\lambda\cdot \left(-\frac{xdx}{4y} \right)^2=\\ =\frac{\lambda}{4}dx^2-\frac{5x}{2y}dx^2+\lambda \cdot \frac{x^2dx^2}{16y^2}=\left( \frac{\lambda}{4}-\frac{5x}{2y}+\frac{\lambda \cdot x^2}{16y^2} \right)\cdot dx^2 \]

Подставляя \(\displaystyle{x=2}\), \(\displaystyle{y=1}\), \(\displaystyle{\lambda=-10}\), получим:

\[ d^2 F=\left( \frac{-10}{4}-\frac{10}{2}-\frac{10 \cdot 4}{16} \right)\cdot dx^2=-10dx^2. \]

Так как \(\displaystyle{d^2F=-10\cdot dx^2 \lt 0}\), то точка \(\displaystyle{(2;1)}\) есть точкой условного максимума функции \(\displaystyle{z=5xy-4}\), причём \(\displaystyle{z_{\max}=10-4=6}\).

Ответ:

В точке \(\displaystyle{(2;1)}\) функция имеет условный максимум, \(\displaystyle{z_{\max}=6}\).

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.