Матрица \(A^{-1}\) называется обратной по отношению к квадратной матрице \(A\), если выполнено условие \(A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E\), где \(E\) – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы \(A\).
Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.
Обратная матрица \(A^{-1}\) существует тогда и только тогда, когда матрица \(A\) – невырожденная. Если обратная матрица \(A^{-1}\) существует, то она единственная.
Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен в следующей теме.
Пусть задана матрица \(A_{n\times n}\). Для того, чтобы найти обратную матрицу \(A^{-1}\), требуется осуществить три шага:
Матрицу \({A^{*}}^T\) часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице \(A\).
Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (Задача №2), третьего (Задача №3), четвертого (Задача №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во иной теме.
Найти матрицу, обратную к матрице \(A=\left( \begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)\).
Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то \(\Delta A=0\) (т.е. матрица \(A\) является вырожденной). Так как \(\Delta A=0\), то обратной матрицы к матрице \(A\) не существует.
Матрица \(A^{-1}\) не существует.
Найти матрицу, обратную к матрице \(A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)\). Выполнить проверку.
Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы \(A\):
Так как \(\Delta A \neq 0\), то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
Составляем матрицу из алгебраических дополнений: \(A^{*}=\left( \begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)\).
Транспонируем полученную матрицу: \({A^{*}}^T=\left( \begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)\) (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице \(A\)). Используя формулу \(A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T\), имеем:
Итак, обратная матрица найдена:
Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: \(A^{-1}\cdot A=E\) или \(A\cdot A^{-1}=E\). Проверим выполнение равенства \(A^{-1}\cdot A=E\). Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу \(A^{-1}\) не в форме \(\left( \begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)\), а в виде \(-\frac{1}{103}\cdot \left( \begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)\):
Проверка пройдена успешно, обратная матрица \(A^{-1}\) найдена верно.
\(A^{-1}=\left( \begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)\).
Найти обратную матрицу для матрицы \(A=\left( \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)\). Выполнить проверку.
Начнём с вычисления определителя матрицы \(A\). Итак, определитель матрицы \(A\) таков:
Так как \(\Delta A\neq 0\), то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:
Используя формулу \(A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T\), получим:
Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: \(A^{-1}\cdot A=E\) или \(A\cdot A^{-1}=E\). Проверим выполнение равенства \(A\cdot A^{-1}=E\). Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу \(A^{-1}\) не в форме \(\left( \begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)\), а в виде \(\frac{1}{26}\cdot \left( \begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)\):
Проверка пройдена успешно, обратная матрица \(A^{-1}\) найдена верно.
\(A^{-1}=\left( \begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)\).
Найти матрицу, обратную матрице \(A=\left( \begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)\).
Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.
Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы \(A\). Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу). Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.
Например, для первой строки получим:
Определитель матрицы \(A\) вычислим по следующей формуле:
А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:
Матрица из алгебраических дополнений:
Присоединённая матрица:
Обратная матрица:
Проверка, при желании, может быть произведена так же, как и в предыдущих задачах.
\(A^{-1}=\left( \begin{array} {cccc} 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end{array} \right)\).
В следующей теме будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.