Определитель Вронского (вронскиан).

Пусть функции \(\displaystyle{y_1(x)}\), \(\displaystyle{y_2(x)}\), ..., \(\displaystyle{y_n(x)}\) непрерывны вместе с своими производными (до \(\displaystyle{n-1}\) порядка включительно) на интервале \(\displaystyle{(a;b)}\). Определитель Вронского (вронскиан) указанной системы функций задаётся следующей формулой:

\[ W\left(y_1,y_2,\ldots,y_n\right) =\left| \begin{array}{cccc} y_1(x) & y_2(x) & \ldots & y_n(x)\\ y'_1(x) & y'_2(x) & \ldots & y'_n(x)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ y_{1}^{(n-1)}(x) & y_{2}^{(n-1)}(x) & \ldots & y_{n}^{(n-1)}(x)\\ \end{array}\right| \]

Для того, чтобы функции \(\displaystyle{y_1(x)}\), \(\displaystyle{y_2(x)}\), ..., \(\displaystyle{y_n(x)}\) были линейно независимыми на \(\displaystyle{(a;b)}\), достаточно, чтобы \(\displaystyle{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq {0}}\) хотя бы в одной точке интервала \(\displaystyle{(a;b)}\). Отметим, что это условие является достаточным, но не необходимым. Т.е. если \(\displaystyle{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)= 0}\) для всех значений переменной из интервала \(\displaystyle{(a;b)}\), то про линейную зависимость рассматриваемых функций в общем случае ничего определённого сказать нельзя.

Если функции \(\displaystyle{y_1(x)}\), \(\displaystyle{y_2(x)}\), ..., \(\displaystyle{y_n(x)}\), непрерывные вместе с своими производными до \(\displaystyle{n-1}\) порядка включительно на интервале \(\displaystyle{(a;b)}\), линейно зависимы, то \(\displaystyle{W(y_1,y_2,\ldots,y_n) = 0}\) для всех \(\displaystyle{x\in(a;b)}\).

Задача №1

Условие

Исследовать на линейную зависимость функции \(\displaystyle{y_1(x)=x}\), \(\displaystyle{y_2(x)=x e^x}\) в их области определения.

Решение

Областью определения данных функций есть вся числовая прямая, т.е. \(\displaystyle{x\in(-\infty;+\infty)}\).

\[ W\left(y_1,y_2\right) =\left| \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2\\ \end{array}\right| =\left| \begin{array}{cc} x & xe^x \\ 1 & e^x+xe^x\\ \end{array}\right| =x\cdot\left(e^x+xe^x\right)-xe^x =x^2e^x \]

Так как существует хотя бы одно значение \(\displaystyle{x\in {R}}\), при котором \(\displaystyle{W\neq {0}}\) (например, при \(\displaystyle{x=1}\) имеем \(\displaystyle{W=e}\)), то функции \(\displaystyle{y_1(x)=x}\) и \(\displaystyle{y_2(x)=x e^x}\) линейно независимы на \(\displaystyle{R}\).

Ответ:

Фукнции линейно независимы на \(\displaystyle{R}\).

Задача №2

Условие

Исследовать на линейную зависимость функции \(\displaystyle{y_1(x)=1}\), \(\displaystyle{y_2(x)=x}\), \(\displaystyle{y_3(x)=x^2}\), \(\displaystyle{y_4(x)=x^3}\), \(\displaystyle{y_5(x)=x^4}\) в их области определения.

Решение

Все рассуждения проводим в области определения данных функций, т.е. на \(\displaystyle{R}\).

\[ W\left(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5\right) =\left| \begin{array}{ccccc} y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_5\\ y'_1 & y'_2 & y'_3 & y'_4 & y'_5\\ y''_1 & y''_2 & y''_3 & y''_4 & y''_5\\ y'''_1 & y'''_2 & y'''_3 & y'''_4 & y'''_5\\ y_{1}^{(4)} & y_{2}^{(4)} & y_{3}^{(4)} & y_{4}^{(4)} & y_{5}^{(4)} \end{array}\right| =\left| \begin{array}{ccccc} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4\\ 0 & 1 & 2x & 3x^2 & 4x^3\\ 0 & 0 & 2 & 6x & 12x^2\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 24x\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 24 \end{array}\right| =1\cdot{1}\cdot{2}\cdot{6}\cdot{24} =288 \]

Так как \(\displaystyle{W\neq {0}}\), то данные функции линейно независимы на \(\displaystyle{R}\).

Ответ:

Функции линейно независимы на \(\displaystyle{R}\).

Задача №3

Условие

Исследовать на линейную зависимость функции \(\displaystyle{y_1(x)=4}\), \(\displaystyle{y_2(x)=\arcsin {x}}\), \(\displaystyle{y_3(x)=\arccos {x}}\) в интервале \(\displaystyle{(-1;1)}\).

Решение

\[ W\left(y_1,y_2,y_3\right) =\left| \begin{array}{ccc} y_1 & y_2 & y_3 \\ y'_1 & y'_2 & y'_3 \\ y''_1 & y''_2 & y''_3 \end{array}\right| =\left| \begin{array}{ccc} 10 & \arcsin{x} & \arccos{x} \\ 0 & \left(1-x^2\right)^{-1/2} & -\left(1-x^2\right)^{-1/2} \\ 0 & x\left(1-x^2\right)^{-3/2} & -x\left(1-x^2\right)^{-3/2} \end{array}\right| \]

Для вычисления полученного определителя можно использовать формулу треугольников, но лучше сделать пару предварительных преобразований. Прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы третьего столбца и учтем, что \(\displaystyle{\arcsin {x}+\arccos {x}=\frac {\pi}{2}}\) при любом \(\displaystyle{x\in[-1;1]}\):

\[ W=\left| \begin{array}{ccc} 10 & \arcsin{x} & \arccos{x} \\ 0 & \left(1-x^2\right)^{-1/2} & -\left(1-x^2\right)^{-1/2} \\ 0 & x\left(1-x^2\right)^{-3/2} & -x\left(1-x^2\right)^{-3/2} \end{array}\right|=\\ =\left| \begin{array}{ccc} 10 & \arcsin{x}+\arccos{x} & \arccos{x} \\ 0 & 0 & -\left(1-x^2\right)^{-1/2} \\ 0 & 0 & -x\left(1-x^2\right)^{-3/2} \end{array}\right| =\left| \begin{array}{ccc} 10 & \frac{\pi}{2} & \arccos{x} \\ 0 & 0 & -\left(1-x^2\right)^{-1/2} \\ 0 & 0 & -x\left(1-x^2\right)^{-3/2} \end{array}\right| =0 \]

Так как \(\displaystyle{W=0}\), то ничего определенного про линейную зависимость данных функций сказать нельзя.

Можно исследовать данные функции определителем Грама, но проще использовать определение линейно зависимых функций. В задаче №3 доказано по определению, что данные функции линейно зависимы на отрезке \(\displaystyle{[-1;1]}\), а следовательно, будут линейно зависимы на \(\displaystyle{(-1;1)}\).

Задача №4

Условие

Исследовать на линейную зависимость функции \(\displaystyle{y_1(x)=x}\), \(\displaystyle{y_2(x)=|x|}\) в их области определения.

Решение

Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. \(\displaystyle{x\in R}\). Рассмотрим определитель Вронского этих функций при \(\displaystyle{x\ge{0}}\). При данном условии \(\displaystyle{y_2(x)=|x|=x}\).

\[ W\left(y_1,y_2\right) =\left| \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{array}\right| =\left| \begin{array}{ccc} x & x \\ 1 & 1 \end{array}\right| =0 \]

Рассмотрим вронскиан заданных функций при \(\displaystyle{x \lt {0}}\), с учетом того, что при \(\displaystyle{x \lt {0}}\) имеем \(\displaystyle{y_2(x)=|x|=-x}\).

\[ W\left(y_1,y_2\right) =\left| \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{array}\right| =\left| \begin{array}{ccc} x & -x \\ 1 & -1 \end{array}\right| =0 \]

Итак, вронскиан равен нулю на всей области определения заданных функций. Вновь, как и в задаче №3, сказать что-либо определённое по поводу линейной зависимости функций, опираясь на значение вронскиана, нельзя. В задаче №4 эти функции были исследованы на линейную зависимость согласно определению. И, согласно результатам, функции оказались линейно независимыми.

Как видите, задачи №3 и №4 наглядно иллюстрируют тот факт, что условие \(\displaystyle{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq {0}}\) является достаточным, но не необходимым для линейной независимости рассматриваемых функций. В задаче №3 функции были линейно зависимы, в задаче №4 – линейно независимы, однако в обоих случаях \(\displaystyle{W=0}\).