В этой теме мы подробно поговорим о вычислении неопределённых интегралов с помощью формулы интегрирования по частям. В первой части будут разобраны стандартные примеры, которые нередко встречаются в типовых расчётах и контрольных работах. Более сложные примеры разобраны во второй части.
Постановка задачи в стандартном случае следующая. Допустим, подынтегральная функция имеет вид \(\displaystyle{\alpha(x)\beta(x)}\), где \(\displaystyle{\alpha(x)}\) и \(\displaystyle{\beta(x)}\), условно говоря, разнородные функции: многочлен и тригонометрическая функция, многочлен и логарифм, многочлен и обратная тригонометрическая функция, и так далее. В этой ситуации удобно применение следующей теоремы:
Пусть функции \(\displaystyle{u(x)}\) и \(\displaystyle{v(x)}\) дифференцируемы на некотором промежутке, и на этом промежутке существует интеграл \(\displaystyle{\int {v} \, du}\). Тогда на этом же промежутке существует и интеграл \(\displaystyle{\int {u} \, dv}\), при этом верно следущее равенство:
\[
\begin{equation}
\int {u} \, dv = u\cdot{v}-\int {v}\, du
\end{equation}
\]
Формулу (1) называют формулой интегрирования по частям. Существует несколько стандартных случаев, в которых явно применима формула (1). Пусть \(\displaystyle{P_n(x)}\) – многочлен n-й степени. Введём два правила:
Правило №1
Для интегралов вида \(\displaystyle{\int{P_n(x)}\ln{x}\,dx}\),\(\displaystyle{\int{P_n(x)}\arcsin{x}\,dx}\),\(\displaystyle{\int {P_n(x)}\arccos{x}\,dx}\),\(\displaystyle{\int{P_n(x)}\arctg{x}\,dx}\),\(\displaystyle{\int{P_n(x)}\arcctg{x}\,dx}\) принимаем \(\displaystyle{dv=P_n(x)dx}\).
Указанные выше интегралы не нужно воспринимать буквально. Например, в интегралах вида \(\displaystyle{\int {P_n(x)} \ln{x} \,dx}\) не обязательно будет именно \(\displaystyle{\ln{x}}\). Там могут быть расположены и \(\displaystyle{\ln{5x}}\), и \(\displaystyle{\ln\left(10x^2+14x-5\right)}\). Запись \(\displaystyle{\ln{x}}\) нужно воспринимать как своего рода обобщение.
Задача №1
Условие
Найти \(\displaystyle{\int (3x+4) \cos (2x-1) dx}\).
Решение
Подынтегральная функция \(\displaystyle{f(x)=(3x+4)\cos(2x-1)}\) есть произведение многочлена \(\displaystyle{3x+4}\) и \(\displaystyle{\cos (2x-1)}\). Это классический случай для применения формулы (1). Согласно правилу №2 нам следует принять \(\displaystyle{u=3x+4}\), тогда для \(\displaystyle{dv}\) имеем \(\displaystyle{dv=\cos(2x-1)dx}\).
Для применения формулы (1) нужно найти \(\displaystyle{v}\) и \(\displaystyle{du}\). Так как \(\displaystyle{u=3x+4}\), то
\[
du=u'dx=(3x+4)'dx=3dx
\]
Теперь разберёмся с функцией \(\displaystyle{v}\). Так как \(\displaystyle{dv=\cos(2x-1)dx}\), то исходя из определения неопределённого интеграла имеем:
Мы получили бесконечное множество функций, которое описывает формула \(\displaystyle{\frac{\sin(2x-1)}{2}+C}\). В качестве \(\displaystyle{v}\) нам нужна какая-то одна функция из этого множества. Полагая, например, \(\displaystyle{C=0}\), получим \(\displaystyle{v=\frac{\sin(2x-1)}{2}}\). К слову, можно было бы взять иное значение \(\displaystyle{C}\), но проще всего принять \(\displaystyle{C=0}\).
Теперь можно применить формулу (1). Обычно поиск \(\displaystyle{du}\) и \(\displaystyle{v}\) не расписывают отдельно, а записывают сокращённо:
В дополниние к уже решённому примеру рассмотрим ещё один вопрос: что произойдёт, если не использовать замену, рекомендованную правилом №2? Удастся ли тогда найти интеграл? Ответ на этот вопрос я скрыл под примечание.
Что будет, если нарушить правило №2?
Если принять \(\displaystyle{u=\cos (2x-1)}\) и \(\displaystyle{dv=(3x+4)dx}\), то ничего хорошего из этого не выйдет, – интеграл не упростится. Судите сами: так как \(\displaystyle{u=\cos(2x-1)}\), то \(\displaystyle{du=-2\sin(2x-1)dx}\). Кроме того, так как \(\displaystyle{dv=(3x+4)dx}\), то
Мы пришли к интегралу \(\displaystyle{\int \left(3x^2+8x\right) \sin(2x-1)\,dx}\), который явно сложнее нежели исходный интеграл \(\displaystyle{\int (3x+4) \cos (2x-1) dx}\). Это говорит о том, что выбор \(\displaystyle{u}\) и \(\displaystyle{dv}\) был сделан неудачно. После применения формулы интегрирования по частям полученный интеграл должен быть проще исходного, поэтому если после применения формулы (1) интеграл усложнился, то выбор \(\displaystyle{u}\) и \(\displaystyle{dv}\) осуществлён некорректно.
Задача №2
Условие
Найти \(\displaystyle{\int (3x^4+4x-1) \ln {5x} \, dx}\).
Решение
Подынтегральная функция есть произведение многочлена \(\displaystyle{3x^4+4x-1}\) на \(\displaystyle{\ln{5x}}\). Этот случай подпадает под правило №1. Согласно данноу правилу, нужно выбрать \(\displaystyle{dv=(3x^4+4x-1)dx}\), откуда имеем \(\displaystyle{v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x}\). Далее, \(\displaystyle{u=\ln{5x}}\), откуда получаем \(\displaystyle{du=\frac{1}{x}dx}\).
Этот интеграл имеет структуру \(\displaystyle{\int {P_n(x)} \arccos{x} \;dx}\), подпадающую под правило №1, где многочлен \(\displaystyle{P_n(x)=1}\). Принимаем \(\displaystyle{u=\arccos{x}}\),\(\displaystyle{dv=dx}\):
В этой задаче формулу интегрирования по частям придётся применять два раза. Согласно правилу №2 имеем \(\displaystyle{u=3x^2+x}\). Соответственно, \(\displaystyle{dv=e^{7x}dx}\).
Мы пришли к интегралу \(\displaystyle{\int (6x+1) e^{7x}\;dx}\), который вновь необходимо брать по частям. Приняв \(\displaystyle{u=6x+1}\) и \(\displaystyle{dv=e^{7x}dx}\), будем иметь:
Применение метода интегрирования по частям в несколько нестандартных случаях, не подпадающих под действие правил №1 и №2, будет дано во второй части этой темы. Дополнительные стандартные примеры на формулу интегрирования по частям есть в решебнике: 1389, 1399, 1400, 1408, 1389, 1392, 1394.