Задача №1
Решить СЛАУ
Если система является неопределённой, указать фундаментальную систему решений.
Итак, мы имеем однородную СЛАУ, у которой 3 уравнения и 4 переменных: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\). Так как количество переменных больше количества уравнений, то такая однородная система не может иметь единственное решение (чуть позже мы строго докажем это предложение на основе теоремы Кронекера-Капелли). Найдём решения СЛАУ, используя метод Гаусса:
Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.
И матрица системы, и расширенная матрица системы после эквивалентных преобразований приведены к ступенчатому виду; они содержат по две ненулевых строки. Вывод: \(\rang A=\rang\widetilde{A} = 2\).
Итак, заданная СЛАУ содержит 4 переменных (обозначим их количество как \(n\), т.е. \(n=4\)). Кроме того, ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой и равны числу \(r=2\). Так как \(r \lt{n}\), то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Найдём эти решения. Для начала выберем базисные переменные. Их количество должно равняться \(r\), т.е. в нашем случае имеем две базисные переменные. Какие именно переменные (ведь у нас их 4 штуки) принять в качестве базисных? Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на "ступеньках". Что это за "ступеньки" показано на рисунке:
На "ступеньках" стоят числа из столбцов №1 и №3. Первый столбец соответствует переменной \(x_1\), а третий столбец соответствует переменной \(x_3\). Именно переменные \(x_1\) и \(x_3\) примем в качестве базисных.
В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.
Примечание
Почему можно принять переменные \(x_1\) и \(x_3\) в качестве базисных? Для ответа на этот вопрос давайте вспомним, что ранг матрицы системы равен числу \(r=2\). Это говорит о том, что все миноры данной матрицы, порядок которых выше 2, либо равны нулю, либо не существуют. Ненулевые миноры есть только среди миноров второго порядка. Выберем какой-либо ненулевой минор второго порядка. Мы можем выбирать его как в исходной матрице системы \(A\), т.е. в матрице \(\left( \begin{array} {cccc} 3 & -6 & 9 & 13 \\ -1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 3 \end{array} \right)\), так и в преобразованной матрице системы, т.е. в \(\left( \begin{array} {cccc} 1 & -2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\). Так как в преобразованной матрице системы побольше нулей, то будем работать именно с нею.
Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:
Вывод: выбранный нами минор второго порядка не является базисным, ибо он равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной \(x_1\)) и столбца №2 (он соответствует переменной \(x_2\)), то пара переменных \(x_1\) и \(x_2\) не могут быть базисными переменными.
Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №2 и №4:
Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №2 (он соответствует переменной \(x_2\)) и столбца №4 (он соответствует переменной \(x_4\)), то пару переменных \(x_2\) и \(x_4\) можно принять в качестве базисных.
Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:
Вывод: выбранный нами минор второго порядка является базисным, ибо он не равен нулю. Так как элементы этого минора взяты из столбца №1 (он соответствует переменной \(x_1\)) и столбца №3 (он соответствует переменной \(x_3\)), то пару переменных \(x_1\) и \(x_3\) можно принять в качестве базисных.
Как видите, выбор базисных переменных не является однозначным. На самом деле количество вариантов выбора не превышает количество размещений из \(n\) элементов по \(r\), т.е. не больше чем \(C_{n}^{r}\).
В рассматриваемом примере в качестве баисных были приняты переменные \(x_1\) и \(x_3\) – сугубо из соображений удобства дальнейшего решения. В чём это удобство состоит, будет видно чуток позже.
Базисные переменные выбраны: это \(x_1\) и \(x_3\). Количество свободных переменных, как и количество решений в ФСР, равно \(n-r=2\). Свободными переменными будут \(x_2\) и \(x_4\). Нам нужно выразить базисные переменные через свободные.
Я предпочитаю работать с системой в матричной форме записи. Для начала очистим полученную матрицу \(\left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\) от нулевой строки:
Свободным переменным, т.е. \(x_2\) и \(x_4\), соответствуют столбцы №2 и №4. Перенесём эти столбцы за черту. Знак всех элементов переносимых столбцов изменится на противоположный:
Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов?
Давайте обратимся к расширенной матрице системы, которая после преобразований имеет вид \(\left( \begin{array} {cccc|c} 1 & -2 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 \end{array}\right)\). Перейдём от матрицы к уравнениям. Первая строка соответствует уравнению \(x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0\), а вторая строка соответствует уравнению \(3x_3+4x_4=0\). Теперь перенесём свободные переменные \(x_2\) и \(x_4\) в правые части уравнений. Естественно, что когда мы переносим выражение \(4x_4\) в правую часть уравнения, то знак его изменится на противоположный, и в правой части появится \(-4x_4\).
\begin{aligned} & x_1+2x_3=2x_2-3x_4;\\ & 3x_3=-4x_4. \end{aligned}Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.
А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:
Матрица до черты стала единичной, метод Гаусса завершён. Общее решение найдено, осталось лишь записать его. Вспоминая, что четвёртый столбец соответствует переменной \(x_2\), а пятый столбец – переменной \(x_4\), получим:
Нами найдено общее решение заданной однородной СЛАУ. Если есть желание, то полученное решение можно проверить. Например, подставляя \(x_1=2x_2-\frac{1}{3}x_4\) и \(x_3=-\frac{4}{3}x_4\) в левую часть первого уравнения, получим:
Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.
Теперь найдем фундаментальную систему решений. ФСР будет содержать \(n-r=2\) решения. Для нахождения ФСР составим таблицу. В первой строке таблицы будут перечислены переменные: от \(x_1\) до \(x_4\). Затем под свободными переменными \(x_2\) и \(x_4\) запишем элементы единичной матрицы \(\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)\):
В принципе, при желании для наглядности можно разместить сначала базисные \(x_1\), \(x_3\), а затем – свободные переменные \(x_2\) и \(x_4\), под которыми и записать единичную матрицу:
Способ записи выбирайте на своё усмотрение; здесь же продолжим решение первым способом, когда переменные записаны без дополнительной группировки.
Теперь будем заполнять свободные ячейки. Начнём со второй строки. Мы знаем, что \(x_1=2x_2-\frac{1}{3}x_4\) и \(x_3=-\frac{4}{3}x_4\). Если \(x_2=1\), \(x_4=0\), то:
Найденные значения \(x_1=2\) и \(x_3=0\) запишем в соответствующие пустые ячейки второй строки:
Заполним и третью строку. Если \(x_2=0\), \(x_4=1\), то:
Найденные значения \(x_1=-\frac{1}{3}\) и \(x_3=-\frac{4}{3}\) запишем в соответствующие пустые ячейки третьей строки. Таким образом таблица будет заполнена полностью:
Из второй и третьей строки таблицы мы и запишем ФСР. Матрица неизвестных для нашей системы такова: \(X=\left(\begin{array} {c} x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4 \end{array}\right)\). В том же порядке, в котором в матрице \(X\) перечислены переменные, записываем значения переменных из таблицы в две матрицы:
Совокупность \(\varphi_1=\left(\begin{array} {c} 2 \\1 \\0 \\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end{array}\right)\) и есть ФСР данной системы. Общее решение можно записать теперь так: \(X=C_1\cdot \varphi_1+C_2\cdot \varphi_2\). Или в развёрнутом виде:
где \(C_1\) и \(C_2\) – произвольные постоянные.
Общее решение: \(\left\{\begin{aligned} & x_1=2x_2-\frac{1}{3}x_4;\\ & x_2\in R;\\ & x_3=-\frac{4}{3}x_4;\\ & x_4 \in R. \end{aligned}\right.\). Или так: \(X=C_1\cdot\left(\begin{array} {c} 2 \\1 \\0 \\0 \end{array}\right)+C_2\cdot\left(\begin{array} {c} -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end{array}\right)\), где \(C_1\) и \(C_2\) – произвольные константы. Фундаментальная система решений: \(\varphi_1=\left(\begin{array} {c} 2 \\1 \\0 \\0 \end{array}\right)\), \(\varphi_2=\left(\begin{array} {c} -1/3 \\0 \\ -4/3 \\1 \end{array}\right)\).