Некоторые свойства определителей.

Здесь будут изложены основные свойства, которые обычно используются для вычисления определителей в стандартном курсе высшей математики. Это вспомогательная тема, к которой будем обращаться из остальных разделов по мере необходимости.

Итак, пусть задана некая квадратная матрица \(\displaystyle{A_{n\times n}=\left( \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)}\). Каждая квадратная матрица обладает характеристикой, которая называется определителем (или детерминантом).

Обозначается определитель матрицы \(\displaystyle{A}\) как \(\displaystyle{\Delta{A}}\), \(\displaystyle{|A|}\) или \(\displaystyle{\det{A}}\). Порядок определителя равен количеству строк (столбцов) в нём. Ниже перечислен список некоторых свойств определителей с примерами.

Значение определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, т.е. \(\displaystyle{\Delta{A}=\Delta{A^T}}\).

Пример применения этого свойства

Рассмотрим матрицу \(\displaystyle{A=\left(\begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array}\right)}\). Вычислим её определитель, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

\[\Delta{A} = \left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right| =2\cdot 4-5\cdot 9 =-37. \]

Найдём определитель транспонированной матрицы \(\displaystyle{A^T = \left(\begin{array} {cc} 2 & 9 \\ 5 & 4 \end{array}\right)}\):

\[ \Delta{A^T} = \left| \begin{array} {cc} 2 & 9 \\ 5 & 4 \end{array} \right| =2\cdot 4-9\cdot 5 =-37. \]

Как видите, значение определителя от транспонирования не изменилось.
Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.

Пример применения этого свойства

Рассмотрим определитель \(\displaystyle{\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|}\). Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

\[\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.\]

Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель \(\displaystyle{\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|}\). Вычислим этот определитель:

\[ \left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37 \]

Как видите, после смены мест двух строк знак определителя изменился на противоположный.
Определитель, у которого все элементы строки (столбца) равны нулю, равен нулю.

Пример применения этого свойства

Так как в определителе \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|}\) все элементы третьего столбца равны нулю, то определитель равен нулю, т.е. \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|=0}\).
Определитель, у которого все элементы некоей строки (столбца) равны соответствующим элементам иной строки (столбца) равен нулю.

Пример применения этого свойства

Так как в определителе \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|}\) все элементы первой строки равны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю, т.е. \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|=0}\).
Если в определителе все элементы одной строки (столбца) пропорциональны соответствующим элементам иной строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

Пример применения этого свойства

Так как в определителе \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|}\) вторая и третья строки пропорциональны, т.е. \(\displaystyle{r_3=-3\cdot{r_2}}\), то определитель равен нулю, т.е. \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|=0}\).
Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Пример применения этого свойства

Рассмотрим определитель \(\displaystyle{\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|}\). Заметьте, что все элементы второй строки кратны трём:

\[\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|\]

Число 3 – общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

\[ \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|= 3\cdot \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -3 & 7 \end{array} \right| \]
Определитель не изменится, если ко всем элементам некоей строки (столбца) прибавить соответствующие элементы иной строки (столбца), умноженные на произвольное число.

Пример применения этого свойства

Рассмотрим определитель \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|}\). Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: \(\displaystyle{r_2+5\cdot{r_3}}\). Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

\[ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right| \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array}= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|. \]
Если в определителе некая строка (столбец) есть линейная комбинация иных строк (столбцов), то определитель равен нулю.

Пример применения этого свойства

Сразу поясню, что означает словосочетание "линейная комбинация". Пусть у нас есть s строк (или столбцов): \(\displaystyle{A_1}\), \(\displaystyle{A_2}\),..., \(\displaystyle{A_s}\). Выражение

\[ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, \]

где \(\displaystyle{k_i\in R}\) называется линейной комбинацией строк (столбцов) \(\displaystyle{A_1}\), \(\displaystyle{A_2}\),..., \(\displaystyle{A_s}\).

Для примера рассмотрим такой определитель:

\[ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end{array} \right| \]

В этом определителе четвертую строку можно выразить как линейную комбинацию первых трёх строк:

\[ r_4=2\cdot{r_1}+3\cdot{r_2}-r_3 \]

Следовательно, рассматриваемый определитель равен нулю.
Если каждый элемент некоей k-й строки (k-го столбца) определителя равен сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме определителей, у первого из которых в k-й строке (k-м столбце) стоят первые слагаемые, а у второго определителя в k-й строке (k-м столбце) расположены вторые слагаемые. Иные элементы этих определителей одинаковы.

Пример применения этого свойства

Рассмотрим определитель \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|}\). Запишем элементы второго столбца так: \(\displaystyle{\left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|}\). Тогда такой определитель равен сумме двух определителей:

\[ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end{array} \right|+ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end{array} \right| \]
Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. \(\displaystyle{\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B}\). Из этого правила можно получить такую формулу: \(\displaystyle{\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n}\).
Если матрица \(\displaystyle{A}\) – невырожденная (т.е. её определитель не равен нулю), то \(\displaystyle{\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}}\).