Решение
Разумеется, этот интеграл табличный, и ответ можно дать сразу же:
\[
\int\frac{dx}{x^2+1}
=\arctg{x} + C
\]
Однако попробуем взять данный интеграл иным способом. Разделим на \(\displaystyle{x^2}\) числитель и знаменатель подынтегральной дроби, а затем учтём, что \(\displaystyle{d\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}dx}\):
\[
\int\frac{dx}{x^2+1}
=\int\frac{\frac{1}{x^2}dx}{1+\frac{1}{x^2}}
=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 1}
=-\arctg\frac{1}{x} + C
\]
Немного порассуждаем. Вполне очевидно, что \(\displaystyle{\int\frac{dx}{x^2+1}=\int\frac{dx}{x^2+1}}\), посему имеем
\[
\arctg{x} + C = -\arctg\frac{1}{x} + C;\;
\arctg{x} = -\arctg\frac{1}{x}.
\]
Однако полученное равенство не выдерживает банальной проверки. Подставляя, например, \(\displaystyle{x=1}\), получим, что \(\displaystyle{\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}}\). В чём причина такого несоответствия?
Если такой вопрос вызывает у вас затруднения, то прочтите материал темы про понятие неопределённого интеграла, уделяя особое внимание вопросам №1 и №2. Здесь же отметим, что две первообразные различаются на константу, посему для первообразных \(\displaystyle{\arctg{x}}\) и \(\displaystyle{-\arctg\frac{1}{x}}\) будем иметь:
\[
\arctg{x} - \left(-\arctg\frac{1}{x}\right) = C
\]
\[
\arctg{x} + \arctg\frac{1}{x} = C
\tag{5.1}
\]
Чтобы найти константу \(\displaystyle{C}\) подставим в (5.1), например, \(\displaystyle{x=1}\):
\[
\arctg{1} + \arctg\frac{1}{1} = C;\; C=\frac{\pi}{2}.
\]
Итак, мы пришли к равенству
\[
\arctg{x} + \arctg\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
\tag{5.2}
\]
На первый взгляд это равенство должно быть истинным при всех допустимых значениях \(\displaystyle{x}\). И действительно, подставляя в левую часть полученного равенства любые положительные значения переменной, будем неизменно получать число \(\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\). Однако подставляя, например, значение \(\displaystyle{x=-1}\), получим, что равенство нарушается. Отчего так?
Для ответа на этот вопрос нужно вспомнить, на каких промежутках функции \(\displaystyle{\arctg{x}}\) и \(\displaystyle{-\arctg\frac{1}{x}}\) являются первообразными для функции \(\displaystyle{\frac{1}{1+x^2}}\).
Функция \(\displaystyle{\arctg{x}}\) является первообразной для \(\displaystyle{\frac{1}{1+x^2}}\) на \(\displaystyle{R}\), однако функция \(\displaystyle{-\arctg\frac{1}{x}}\) будет первообразной для \(\displaystyle{\frac{1}{1+x^2}}\) на любом промежутке, не включающем в себя ноль: например, на \(\displaystyle{E_1=(-\infty;0)}\) или \(\displaystyle{E_2=(0;+\infty)}\).
Отсюда следует, что равенство (5.2) верно на промежутке \(\displaystyle{E_2}\), а на промежутке \(\displaystyle{E_1}\) значение \(\displaystyle{C}\) нужно найти отдельно. Подставляя в (5.1), например, \(\displaystyle{x=-1}\), получим:
\[
\arctg{(-1)} + \arctg\frac{1}{-1} = C;\; C=-\frac{\pi}{2}.
\]
Следовательно, при \(\displaystyle{x\lt{0}}\) имеем
\[
\arctg{x} + \arctg\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}
\tag{5.3}
\]
Как видите, выполняя преобразования с подынтегральным выражением, нужно быть крайне внимательным к промежутку, на котором рассматриваются подынтегральная функция и её первообразная. Кроме того, стоит помнить, что равенства, в обеих частях которых имеются неопределённые интегралы, – это равенства между множествами.