Признак Д'Аламбера. Третья часть.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{4n-1}{n}\sin\frac{2}{3^n}}\). Если в предыдущих задачах знак \(\displaystyle{u_n}\) был очевиден, то в данном случае в записи общего члена ряда присутствует синус, который вносит некую неопределённость.

Мы знаем, что \(\displaystyle{\frac{2}{3^n}\gt{0}}\). Далее, так как \(\displaystyle{n\in{N}}\), то \(\displaystyle{3^n \ge {3}}\). Отсюда имеем \(\displaystyle{\frac{1}{3^n}\le\frac{1}{3}}\). Умножая на 2 обе части последнего неравенства, получим \(\displaystyle{\frac{2}{3^n}\le\frac{2}{3}}\). Итак:

Если \(\displaystyle{0 \lt \alpha \lt \pi}\), то \(\displaystyle{\sin\alpha \gt {0}}\). Следовательно, \(\displaystyle{\sin\frac{2}{3^n} \gt {0}}\), откуда имеем \(\displaystyle{u_n\gt{0}}\).

Общий член ряда содержит степень \(\displaystyle{3^n}\) и многочлены в числителе и знаменателе дроби \(\displaystyle{\frac{4n-1}{n}}\) – попробуем применить признак Д'Аламбера:

Так как \(\displaystyle{\frac{1}{3} \lt {1}}\), то заданный ряд сходится.

Решение

Общий член ряда: \(\displaystyle{u_n=\frac{3^{2n+1}-4}{2^{5n}(n+1)!}\gt{0}}\). Общий член ряда содержит степени и факториал, однако есть одна мешающая деталь: число \(\displaystyle{-4}\) в числителе. Помеха состоит в том, что мы не сможем сократить степени при применении признака Д'Аламбера. Рассмотрим иной ряд: без числа -4, т.е. \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}}{2^{5n}(n+1)!}}\). Обозначим общий член этого ряда как \(\displaystyle{v_n=\frac{3^{2n+1}}{2^{5n}(n+1)!}}\). Применим к этому ряду признак Д'Аламбера:

Так как \(\displaystyle{0 \lt {1}}\), то согласно признаку Д'Аламбера ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\) сходится. Вернёмся к тому ряду, что был у нас изначально, т.е. к ряду \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\). Чем меньше числитель, тем меньше дробь, поэтому

Так как \(\displaystyle{u_n\lt{v_n}}\) и ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n}\) сходится, то согласно первому признаку сравнения ряд \(\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n}\) также будет сходиться.

Решение

Общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{\left(n!\right)^2}{2^{n^2}}\gt{0}}\). Общий член ряда содержит степень \(\displaystyle{2^{n^2}}\) и факториал \(\displaystyle{\left(n!\right)^2}\) – применим признак Д'Аламбера:

Мы получили неопределенность вида \(\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\). Вычислим вспомогательный предел. Рассмотрим функцию действительного аргумента \(\displaystyle{y(x)=\frac{(x+1)^2}{2^{2x+1}}}\) и с помощью правила Лопиталя найдём её предел при \(\displaystyle{x\to +\infty}\):

Так как \(\displaystyle{\lim_{x\to\ +\infty}\frac{(x+1)^2}{2^{2x+1}}=0}\), то \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{2n+1}}=0}\). Так как \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0 \lt 1}\), то согласно признаку Д'Аламбера заданный ряд сходится.