Универсальная тригонометрическая подстановка. Первая часть.

В этой теме поговорим о вычислении неопределённых интегралов с помощью универсальной тригонометрической подстановки и рассмотрим наиболее частые типы задач, которые используются в стандартных контрольных или экзаменационных работах. Большее число примеров по этой теме можно найти, например, в книге Каплана "Практические занятия по высшей математике". Также могу посоветовать очень хорошее учебное пособие "Математический анализ. Неопределённый интеграл" за авторством Е.В. Хорошиловой.

Перейдём к постановке задачи. Пусть задана некая рациональная функция \(\displaystyle{R(\sin{x}, \cos{x})}\) – дробь, в числителе и знаменателе которой расположены многочлены от \(\displaystyle{\sin{x}}\) и \(\displaystyle{\cos{x}}\). Требуется найти неопределённый интеграл от этой функции, т.е. \(\displaystyle{\int R(\sin{x}, \cos{x})\,dx}\).

В этом случае можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку \(\displaystyle{t=\tg\frac{x}{2}}\), применение которой допустимо лишь на промежутках, не содержащих точек вида \(\displaystyle{\pi+2\pi{k}}\), где \(\displaystyle{k\in{Z}}\). Чаще всего рассматривают интервал \(\displaystyle{-\pi\lt{x}\lt\pi}\). Что будет, если не сковывать себя условием \(\displaystyle{x\in(-\pi;\pi)}\), рассмотрим в третьей части данной темы. Так как \(\displaystyle{t=\tg\frac{x}{2}}\), то

\[ \begin{equation} \sin x=\frac{2t}{1+t^2};\; \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}; \; dx=\frac{2dt}{1+t^2}. \end{equation} \]

Интеграл \(\displaystyle{\int R(\sin{x}, \cos{x})\,dx}\) универсальной тригонометрической подстановкой будет приведён к виду

\[ \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}\,dt \]

Таким образом, мы получаем интеграл от некоей рациональной функции переменной \(\displaystyle{t}\). К недостаткам этой подстановки относится громоздкость пребразований, совершаемых для нахождения полученного после подстановки интеграла. Именно поэтому универсальная тригонометрическая подстановка применяется лишь в самом крайнем случае – когда иных вариантов уже нет.

В стандартных учебных задачах унивесальная тригонометрическая подстановка применяется обычно для нахождения интегралов \(\displaystyle{\int\frac{dx}{a\sin{x}+b\cos{x}+c}}\).

Задача №1

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sin{x}}}\).

Решение

Подынтегральная функция \(\displaystyle{\frac{1}{\sin{x}}}\) является рациональной функцией от \(\displaystyle{\sin{x}}\), посему можем использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Применяя указанные выше формулы (1), будем иметь:

\[ \int\frac{dx}{\sin{x}} =\left[\begin{aligned} & t=\tg\frac{x}{2};\\ & dx=\frac{2dt}{1+t^2};\\ & \sin x=\frac{2t}{1+t^2}. \end{aligned}\right]= \int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} =\int\frac{1+t^2}{2t}\cdot\frac{2dt}{1+t^2} =\int\frac{dt}{t} =\ln|t|+C =\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C \]

Рассмотренный интеграл является несложным. Вообще, он есть и в таблице интегралов, однако в данном случае нас интересует просто демонстрация механизма применения универсальной тригонометрической подстановки.

Ответ:

\(\displaystyle{\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C}\).

Задача №2

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{dx}{4\cos{x}-3\sin{x}-5}}\).

Решение

Подынтегральная функция \(\displaystyle{\frac{1}{4\cos{x}-3\sin{x}-5}}\) является рациональной функцией от \(\displaystyle{\sin{x}}\) и \(\displaystyle{\cos{x}}\), поэтому можем использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Применяя указанные выше формулы (1), будем иметь:

\[ \int\frac{dx}{4\cos{x}-3\sin{x}-5} =\left[\begin{aligned} & t=\tg\frac{x}{2};\; dx=\frac{2dt}{1+t^2};\\ & \sin x=\frac{2t}{1+t^2};\; \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \end{aligned}\right]=\\ =\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{4\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-3\cdot\frac{2t}{1+t^2}-5} =\int\frac{2dt}{(1+t^2)\cdot\left(4\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}-3\cdot\frac{2t}{1+t^2}-5\right)}=\\ =\int\frac{2dt}{4(1-t^2)-3\cdot 2t-5(1+t^2)} =\int\frac{2dt}{-9t^2-6t-1} =-\int\frac{2dt}{9t^2+6t+1} =-2\int\frac{dt}{9t^2+6t+1} \]

Под интегралом мы получили рациональную функцию переменной \(\displaystyle{t}\), т.е. \(\displaystyle{\frac{1}{9t^2+6t+1}}\).

\[ -2\int\frac{dt}{9t^2+6t+1}=-2\int\frac{dt}{(3t+1)^2} =-\frac{2}{3}\cdot\int\frac{d(3t+1)}{(3t+1)^2}=\\ =-\frac{2}{3}\cdot\frac{(3t+1)^{-1}}{-1}+C =\frac{2}{3(3t+1)}+C =\frac{2}{3\left(3\tg\frac{x}{2}+1\right)}+C =\frac{2}{9\tg\frac{x}{2}+3}+C. \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{2}{9\tg\frac{x}{2}+3}+C}\).

Задача №3

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{dx}{2-\sin{x}}}\).

Решение

Под интегралом имеем рациональную функцию от \(\displaystyle{\sin{x}}\), т.е. \(\displaystyle{\frac{1}{2-\sin{x}}}\). Вновь применим универсальную тригонометрическую подстановку.

\[ \int\frac{dx}{2-\sin{x}} =\left[\begin{aligned} & t=\tg\frac{x}{2};\; dx=\frac{2dt}{1+t^2};\\ & \sin x=\frac{2t}{1+t^2}.\end{aligned}\right]=\\ =\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{2-\frac{2t}{1+t^2}} =\int\frac{dt}{t^2-t+1} =\int\frac{dt}{\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\\ =\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\cdot\arctg\frac{t-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+C =\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\arctg\frac{2t-1}{\sqrt{3}}+C =\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\arctg\frac{2\tg\frac{x}{2}-1}{\sqrt{3}}+C. \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\arctg\frac{2\tg\frac{x}{2}-1}{\sqrt{3}}+C}\).

Задача №4

Условие

Найти \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\sin^3 x}}\).

Решение

Такой интеграл можно решать по-разному. Например, применить интегрирование по частям, аналогичное тому, что было использовано для решения задачи №9. Однако в данной теме применим для нахождения интеграла универсальную тригонометрическую подстановку.

\[ \int\frac{dx}{\sin^3{x}} =\left[\begin{aligned} & t=\tg\frac{x}{2};\; dx=\frac{2dt}{1+t^2};\\ & \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}.\end{aligned}\right] =\frac{1}{4}\int\frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^3}=\\ \int\left(\frac{2}{1+t^2}\cdot\frac{(1+t^2)^3}{8t^3}\right)dt =\frac{1}{4}\int\frac{(1+t^2)^2}{t^3}dt =\frac{1}{4}\int\frac{1+2t^2+t^4}{t^3}dt=\\ =\frac{1}{4}\int\left(t^{-3}+2\cdot\frac{1}{t}+t\right) dt =-\frac{1}{8t^2}+\frac{1}{2}\ln|t|+\frac{t^2}{8}+C =-\frac{1}{8\tg^2\frac{x}{2}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+\frac{\tg^2\frac{x}{2}}{8}+C. \]

Можно записать ответ и в более компактной форме. С учётом того, что \(\displaystyle{\tg^2\frac{x}{2} = \frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}\), имеем

\[ -\frac{1}{8\tg^2\frac{x}{2}}+\frac{\tg^2\frac{x}{2}}{8} =-\frac{\cos{x}}{1-\cos^2{x}} =-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} \]

Окончательно получаем:

\[ \int\frac{dx}{\sin^3{x}} =-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} + \frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right| + C \]

Ответ:

\(\displaystyle{-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} + \frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right| + C}\).