Алгоритм нахождения стандартных неопределённых интегралов
Методов нахождения неопределённых интегралов существует великое множество. И хотя стандартные учебные примеры используют лишь часть из упомянутых приёмов (причём часть не очень значительную), но нередко выбор подходящего метода интегрирования становится проблемой для студента.
В этом параграфе я собрал список типичных шагов, которые необходимо предпринять, чтобы найти обычный "учебный" интеграл из стандартного типового расчёта или контрольной работы. Сразу отмечу, что перед тем, как перейти к этим шагам, нужно хорошо выучить таблицу неопределенных интегралов.
Добавлю, что эти шаги нужно предпринимать, если метод нахождения интеграла сразу не очевиден. Например, при виде интеграла \(\displaystyle{\int\ln{3x}\,dx}\) или \(\displaystyle{\int{x}\cos{2x}\,dx}\) сразу ясен метод их нахождения – интегрирование по частям. Если же метод интегрирования не просматривается с первого взгляда на интеграл, то можно попробовать изложенную ниже схему.
Проверьте, не является ли данный интеграл табличным. Или же, возможно, интеграл получается привести к табличному после некоторых преобразований, не требующих замены переменной: раскрытия скобок, почленного деления, использования формул тригонометрии и так далее.
Нахождение интегралов согласно этому правилу можно увидеть в задачах №1237, №1238, №1243, №1251, №1253, №1257, №1345, №1347. Если первый шаг пройден, но интеграл упорно не желает становиться табличным, то переходим к следующему этапу.
На этом шаге используется формула \(\displaystyle{dx=\frac{1}{k}d(kx+b)}\), верная при \(\displaystyle{k\neq{0}}\). Проверяем, нельзя ли внести константу под знак интеграла (в виде множителя или слагаемого) таким образом, чтобы полученный интеграл стал табличным.
Примеры нахождения интегралов согласно этому правилу можно увидеть в задачах №1266, №1289, №1329, №1339, №1354, №1375. Если и второй шаг пройден, но интеграл упорно не желает становиться табличным, то переходим к третьему шагу – пытаемся внести некую функцию под знак дифференциала.
Этот шаг самый проблематичный, так как функцию, которую нужно внести, требуется сперва распознать. Нужно уметь анализировать структуру подынтегрального выражения, а также помнить таблицу производных.
Наиболее часто под знак дифференциала вносят функции вида \(\displaystyle{x^{k}}\): например, \(\displaystyle{x^2dx = \frac{1}{3}d\left(x^3\right)}\), \(\displaystyle{xdx=\frac{1}{6}d\left(3x^2+5\right)}\). Хотя, разумеется, нередко встречается и иное: внесение тригонометрических функций, т.е., например, \(\displaystyle{\sin{2x}dx=-\frac{1}{2}d(\cos{2x})}\) или \(\displaystyle{\frac{dx}{\cos^2{x}}=\frac{1}{2}d(2\tg{x}+9)}\); внесение логарифма или показательной функции, т.е. \(\displaystyle{\frac{1}{x}dx=d(\ln{2x})}\) или \(\displaystyle{3^xdx=\frac{1}{\ln{3}}d\left(3^x\right)}\), и многое иное.
Примеры применения данного преобразования для нахождения неопределённых интегралов можно увидеть в решениях таких задач: №1271, №1279, №1280, №1294, №1302, №1305, №1324, №1325, №1336, №1388.
Как показывает практика, для неопределённого интеграла, который встречается, например, при решении простого дифференциального уравнения, хватит первых трёх шагов данного алгоритма. Если три шага не сработали, тогда переходим к следующему шагу и ищем некий специальный метод.
Возможно, название этого шага не очень удачное, однако же имеется в виду вот что: если предыдущие три шага не сработали, то, скорее всего, заданный интеграл относится к некоему классу, для которого есть специальные методы решения.
На этом шаге стоит задуматься: возможно, подынтегральная функция имеет некий специальный вид, который и определяет метод её интегрирования. Например, под знаком интеграла расположена рациональная дробь, для интегрирования которой имеется специальный алгоритм. Или же, например, подынтегральная функция включает в себя корень \(\displaystyle{\sqrt{4-x^2}}\), что, скорее всего, означает подстановку \(\displaystyle{x=2\sin{t}}\). Может быть в подынтегральной функции многочлен соседствует с экспонентой, синусом или логарифмом, посему поможет метод интегрирования по частям.
Разумеется, специальных методов существует немало, однако же в стандартном "учебном" интеграле, скорее всего, будет один из трёх: интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей, замена, связанная с иррациональностью.