Приближённые вычисления определённых интегралов с помощью рядов. Первая часть.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{a}^{b}f(x)dx}\) с некоторой наперёд заданной точностью \(\displaystyle{\varepsilon}\). Если непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции \(\displaystyle{f(x)}\) чересчур громоздко, или же интеграл \(\displaystyle{\int f(x)dx}\) вообще не берётся, то в этих случаях можно использовать функциональные ряды. В частности, применяются ряды Маклорена, с помощью которых получают разложение в степенной ряд подынтегральной функции \(\displaystyle{f(x)}\). Именно поэтому в работе нам будет нужен документ с рядами Маклорена.

Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:

Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.
Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью \(\displaystyle{\varepsilon}\).

Задачи на вычисление интегралов с помощью рядов популярны у составителей типовых расчётов по высшей математике. Поэтому в данной теме мы разберём пять задач, в каждом из которых требуется вычислить определенный интеграл с точностью \(\displaystyle{\varepsilon}\).

Задача №1

Условие

Вычислить \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx}\) с точностью до \(\displaystyle{\varepsilon=10^{-3}}\).

Решение

Сразу отметим, что интеграл \(\displaystyle{\int e^{-x^2}dx}\) не берётся, т.е. первообразная подынтегральной функции не выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Иными словами, стандартными способами (подстановка, интегрирование по частям и т.д.) первообразную функции \(\displaystyle{e^{-x^2}}\) найти не удастся.

Для таких задач есть два варианта оформления, поэтому рассмотрим их отдельно. Условно их можно назвать "развёрнутый" и "сокращённый" варианты.

Развёрнутый вариант оформления

Запишем разложение функции \(\displaystyle{e^x}\) в ряд Маклорена:

\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots\]

Данное разложение верно при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\). Подставим \(\displaystyle{-x^2}\) вместо \(\displaystyle{x}\):

\[e^{-x^2}=1-x^2+\frac{\left(-x^2\right)^2}{2}+\frac{\left(-x^2\right)^3}{6}+\ldots=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots\]

Интегрируем полученное разложение на отрезке \(\displaystyle{\left[0;\frac{1}{2}\right]}\):

\[\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots\right)dx=\\ =\left.\left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\ldots\right)\right|_{0}^{1/2}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}-\frac{1}{42\cdot{2^7}}+\ldots\]

Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Это значит, что если для вычисления приближенного значения заданного интеграла взять \(\displaystyle{k}\) членов полученного ряда, то погрешность не превысит модуля \(\displaystyle{(k+1)}\)-го члена ряда.

Согласно условию, точность \(\displaystyle{\varepsilon=10^{-3}}\). Так как \(\displaystyle{\frac{1}{42\cdot{2^7}}=\frac{1}{5376} \lt 10^{-3}}\), то для достижения требуемой точности достаточно ограничиться первыми тремя членами знакочередующегося ряда:

\[\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}=\frac{443}{960}.\]

Погрешность полученного равенства не превышает \(\displaystyle{\frac{1}{5376}}\).

Однако суммировать обычные дроби – дело утомительное, поэтому чаще всего расчёты ведут в десятичных дробях:

\[\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}\approx{0{,}5}-0{,}0417+0{,}0031\approx{0{,}461}.\]

Разумеется, в этом случае нужно учитывать погрешность округления. Первое слагаемое (т.е. \(\displaystyle{0{,}5}\)) было рассчитано точно, поэтому никакой погрешности округления там нет. Второе и третье слагаемые брались с округлением до четвёртого знака после запятой, посему погрешность округления для каждого из них не превысит \(\displaystyle{0,0001}\). Итоговая погрешность округления не превысит \(\displaystyle{0+0{,}0001+0{,}0001=0{,}0002}\).

Следовательно, суммарная погрешность равенства \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx{0{,}461}}\) не превысит \(\displaystyle{0{,}0002+\frac{1}{5376} \lt 10^{-3}}\), т.е. значение интеграла вычислено с требуемой точностью.

Отмечу, что большинство авторов методичек и учебных пособий не учитывают погрешность округления, хоть это и не совсем корректно. В дальнейших задачах данной темы я буду упоминать про эту погрешность, если она возникнет.

Сокращённый вариант оформления

Запишем разложение функции \(\displaystyle{e^x}\) в ряд Маклорена:

\[e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\]

Данное разложение верно при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\). Подставим \(\displaystyle{-x^2}\) вместо \(\displaystyle{x}\):

\[e^{-x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}\]

Интегрируем полученный ряд на отрезке \(\displaystyle{\left[0;\frac{1}{2}\right]}\):

\[\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{n!}dx= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}x^{2n}dx=\\ =\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\left.\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right|_{0}^{1/2}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2n+1}}{n!\cdot(2n+1)}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}\]

Получили знакочередующийся ряд. Запишем несколько первых членов этого ряда (до тех пор, пока записанный член не станет меньше \(\displaystyle{\varepsilon}\)):

\[\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\cdot(2n+1)\cdot{2^{2n+1}}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{24}+\frac{1}{320}-\frac{1}{5376}+\ldots\]

Все рассуждения, что были сделаны относительно погрешностей в развёрнутом варианте оформления остаются в силе, т.е.

\[\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot{2^3}}+\frac{1}{10\cdot{2^5}}\approx{0{,}461}.\]

Чем сокращённый вариант записи лучше развёрнутого?

Во-первых, нам не нужно угадывать, сколько членов ряда взять в изначальном разложении, чтобы вычислить определенный интеграл с заданной точностью. Например, мы записали в самом начале решения:

\[e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\ldots\]

Однако почему мы решили, что нужно взять именно четыре члена ряда? А вдруг нужно взять два члена ряда или пять, или сто? Если бы только шестой член ряда оказался меньше чем \(\displaystyle{\varepsilon}\), – что тогда? А тогда пришлось бы возвращаться в самое начало решения, добавлять ещё пару членов ряда и интегрировать их. А если и этого не хватит, то проделать эту процедуру ещё раз.

Сокращённый вид записи таким недостатком не страдает. Мы получаем числовой ряд, записанный в общем виде, поэтому можем брать столько его членов, сколько потребуется.

Далее, при интегрировании в развёрнутом способе записи мы находили первообразную четыре раза. При интегрировании в сокращённом способе записи, по сути, мы нашли лишь первообразную для \(\displaystyle{x^{2n}}\).

Исходя из вышеперечисленных причин, я предпочитаю именно сокращённый способ записи. В дальнейнем все решения в этой теме будут оформлены в сокращённой форме.

Ответ:

\(\displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx\approx{0{,}461}}\).

Задача №2

Условие

Вычислить определённый интеграл \(\displaystyle{\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx}\) с точностью до \(\displaystyle{\varepsilon=10^{-3}}\), разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав почленно.

Решение

Начнём с разложения подынтегральной функции \(\displaystyle{\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}}\) в ряд Маклорена. Запишем разложение функции \(\displaystyle{\cos{x}}\) в ряд Маклорена:

\[\cos{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{x}^{2n}}{(2n)!}\]

Данное разложение верно при всех \(\displaystyle{x\in{R}}\). Подставим вместо \(\displaystyle{x}\) дробь \(\displaystyle{\frac{5x}{3}}\):

\[\cos{\frac{5x}{3}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{\left(\frac{5x}{3}\right)}^{2n}}{(2n)!}= \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}.\]

Теперь разложим \(\displaystyle{1-\cos\frac{5x}{3}}\):

\[ 1-\cos\frac{5x}{3}=1-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} \]

Забирая из суммы \(\displaystyle{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}}\) первый член, получим:

\[\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\]

Следовательно:

\[ 1-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=1-\left(1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\right)=\\ =-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}} =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-(-1)^n\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. \]

Последнее, что остаётся – это разделить на \(\displaystyle{x}\):

\[ \frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}=\frac{1}{x}\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}. \]

Интегрируем данное разложение на отрезке \(\displaystyle{\left[0;\frac{1}{5}\right]}\):

\[ \int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}\cdot{x}^{2n-1}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}dx= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\int\limits_{0}^{\frac{1}{5}}{x}^{2n-1}dx=\\ =\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot{5^{2n}}}{3^{2n}\cdot{(2n)!}}\cdot\left.\frac{x^{2n}}{2n}\right|_{0}^{1/5}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}} \]

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{{2n}\cdot 3^{2n}\cdot{(2n)!}}=\frac{1}{36}-\frac{1}{7776}+\ldots\]

Так как \(\displaystyle{\frac{1}{7776}\lt\varepsilon}\), то для вычисления интеграла с точностью \(\displaystyle{\varepsilon}\) достаточно первого члена полученного числового ряда:

\[\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx\frac{1}{36}\approx{0{,}028}.\]

Ответ:

\(\displaystyle{\int\limits_{0}^{0{,}2}\frac{1-\cos\frac{5x}{3}}{x}dx\approx{0{,}028}}\).