Для начала стоит отметить, что мы рассматриваем случай \(\displaystyle{x\to\infty}\), т.е. можем задавать значения \(\displaystyle{x}\) сколь угодно большими по модулю. Это значит, что каким бы ни было число \(\displaystyle{M\gt{0}}\), мы вправе рассматривать лишь те значения переменной, для которых \(\displaystyle{|x|\gt{M}}\).
Пусть \(\displaystyle{q}\) – наибольшее по модулю значение \(\displaystyle{x}\), для которого \(\displaystyle{Q_m(x)=0}\), а \(\displaystyle{p}\) – наибольшее по модулю значение \(\displaystyle{x}\), для которого \(\displaystyle{P_n(x)=0}\). Тогда мы станем расматривать лишь такие значения \(\displaystyle{x}\), для которых \(\displaystyle{|x|\gt\max\{|p|, |q|\}}\), чтобы функция \(\displaystyle{\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}\) была определена и не равна 0.
Рассмотрим сперва самый простой случай – когда степени многочленов числителя и знаменателя равны между собою, т.е. \(\displaystyle{m=n}\). Разделим числитель и знаменатель на \(\displaystyle{x^n}\), при этом учтём, что \(\displaystyle{\frac{1}{x^k}\to{0}}\) при \(\displaystyle{k\in{N}}\):
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{a_0 x^{n} + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n}{b_0 x^{n} + b_1 x^{n-1} + \ldots + b_{n-1} x + b_n}=\\
=\lim_{x\to\infty}\frac{a_0 + a_1\cdot\frac{1}{x} + \ldots + a_{n-1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + a_n\cdot\frac{1}{x^n}}{b_0 + b_1\cdot\frac{1}{x} + \ldots + b_{n-1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + b_n\cdot\frac{1}{x^n}}
=\frac{a_0 + 0 + \ldots + 0 + 0}{b_0 + 0 + \ldots + 0 + 0}
=\frac{a_0}{b_0}
\]
Теперь рассмотрим случай \(\displaystyle{n\lt{m}}\). Разделим числитель и знаменатель на \(\displaystyle{x^m}\):
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{a_0 x^{n} + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n}{b_0 x^{m} + b_1 x^{m-1} + \ldots + b_{m-1} x + b_m}=\\
=\lim_{x\to\infty}\frac{a_0\cdot\frac{1}{x^{m-n}} + a_1\cdot\frac{1}{x^{m-n+1}} + \ldots + a_{n-1}\cdot\frac{1}{x^{m-1}} + a_n\cdot\frac{1}{x^m}}{b_0 + b_1\cdot\frac{1}{x} + \ldots + b_{m-1}\cdot\frac{1}{x^{m-1}} + b_m\cdot\frac{1}{x^m}}
=\frac{0 + 0 + \ldots + 0 + 0}{b_0 + 0 + \ldots + 0 + 0}
=\frac{0}{b_0}
=0
\]
Таким образом, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то предел их отношения равен 0.
И, наконец, обсудим случай \(\displaystyle{n\gt{m}}\). Сперва вспомним, что мы рассматриваем такие значения \(\displaystyle{x}\), при которых дробь \(\displaystyle{\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}}\) определена и не равна 0. Отсюда следует, что и рациональная дробь \(\displaystyle{\frac{Q_m(x)}{P_n(x)}}\) будет определена и не равна 0.
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}
=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{Q_m(x)}{P_n(x)}}
\]
Так как \(\displaystyle{n\gt{m}}\), то согласно доказанному ранее, имеем \(\displaystyle{\frac{Q_m(x)}{P_n(x)}\to{0}}\). Так как при этом \(\displaystyle{\frac{Q_m(x)}{P_n(x)}\neq{0}}\), то
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\frac{Q_m(x)}{P_n(x)}} = \infty
\]
Подводя итоги, получаем следующее:
\[
\lim_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}
=\left\{\begin{aligned}
& 0, \, n\lt{m};\\
& \frac{a_0}{b_0}, \, n=m;\\
& \infty, \, n\gt{m}.
\end{aligned}\right.
\]