Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Решение

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения \(\displaystyle{x_0}\), \(\displaystyle{y_0}\), \(\displaystyle{z_0}\) (координаты точки \(\displaystyle{M_0}\)) в нашем случае таковы: \(\displaystyle{x_0=-2}\), \(\displaystyle{y_0=1}\), \(\displaystyle{z_0=20}\). Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка \(\displaystyle{M_0}\) действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим \(\displaystyle{x=x_0}\), \(\displaystyle{y=y_0}\) в уравнение нашей поверхности и убедимся, что \(\displaystyle{z_0}\) действительно равно 20:

Проверка пройдена, точка \(\displaystyle{M_0}\) действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. \(\displaystyle{z_{x}^{'}}\) и \(\displaystyle{z_{y}^{'}}\):

Нас интересуют значения частных производных именно в точке \(\displaystyle{M_0}\), посему подставим \(\displaystyle{x=x_0}\), \(\displaystyle{y=y_0}\) в выражения частных производных:

Подставляя \(\displaystyle{x_0=-2}\), \(\displaystyle{y_0=1}\), \(\displaystyle{z_0=20}\), \(\displaystyle{z_{x}^{'} \left(x_0, y_0\right)=-13}\), \(\displaystyle{z_{y}^{'} \left(x_0, y_0\right)=80}\) в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:

Подставляя \(\displaystyle{x_0=-2}\), \(\displaystyle{y_0=1}\), \(\displaystyle{z_0=20}\), \(\displaystyle{z_{x}^{'} \left(x_0, y_0\right)=-13}\), \(\displaystyle{z_{y}^{'} \left(x_0, y_0\right)=80}\) в формулу (4) получим уравнение нормали:

Решение

Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения \(\displaystyle{x_0}\) и \(\displaystyle{y_0}\) (первая и вторая координаты точки \(\displaystyle{M_0}\)) заданы по условию: \(\displaystyle{x_0=3}\), \(\displaystyle{y_0=-4}\). Третью координату (т.е. \(\displaystyle{z_0}\)) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение \(\displaystyle{x=x_0}\) и \(\displaystyle{y=y_0}\):

Теперь, как и в предыдущей задаче, перейдём к нахождению частных производных \(\displaystyle{z_{x}^{'}}\) и \(\displaystyle{z_{y}^{'}}\). После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения при \(\displaystyle{x=x_0}\) и \(\displaystyle{y=y_0}\):

Подставляя \(\displaystyle{x_0=3}\), \(\displaystyle{y_0=-4}\), \(\displaystyle{z_0=10}\), \(\displaystyle{z_{x}^{'} \left(x_0, y_0\right)=11}\), \(\displaystyle{z_{y}^{'} \left(x_0, y_0\right)=-10}\) в формулы (3) и (4) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и обозначим полученное в левой части выражение как \(\displaystyle{F(x,y,z)}\):

Используем формулы (1) и (2). Значения \(\displaystyle{x_0}\), \(\displaystyle{y_0}\) и \(\displaystyle{z_0}\) как и ранее обозначают координаты точки \(\displaystyle{M_0}\), т.е. \(\displaystyle{x_0=1}\), \(\displaystyle{y_0=-2}\), \(\displaystyle{z_0=3}\).

Проверим, действительно ли точка \(\displaystyle{M_0}\) лежит на данной поверхности. Для этого подставим \(\displaystyle{x=x_0}\), \(\displaystyle{y=y_0}\) и \(\displaystyle{z=z_0}\) в выражение \(\displaystyle{3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1}\) и выясним, равен ли нулю полученный результат:

Итак, точка \(\displaystyle{M_0}\) действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти \(\displaystyle{F_{x}^{'}}\), \(\displaystyle{F_{y}^{'}}\) и \(\displaystyle{F_{z}^{'}}\):

Нас интересуют значения частных производных именно в точке \(\displaystyle{M_0}\), посему подставим \(\displaystyle{x=x_0}\), \(\displaystyle{y=y_0}\) и \(\displaystyle{z=z_0}\) в выражения частных производных:

Подставляя \(\displaystyle{x_0=1}\), \(\displaystyle{y_0=-2}\), \(\displaystyle{z_0=3}\), \(\displaystyle{F_{x}^{'} \left(M_0\right)=-4}\), \(\displaystyle{F_{y}^{'} \left(M_0\right)=-29}\) и \(\displaystyle{F_{z}^{'} \left(M_0\right)=8}\) в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали:

Решение

Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения \(\displaystyle{x_0}\) и \(\displaystyle{y_0}\) (первая и вторая координаты точки \(\displaystyle{M_0}\)) заданы по условию: \(\displaystyle{x_0=0}\), \(\displaystyle{y_0=-3}\). Третью координату (т.е. \(\displaystyle{z_0}\)) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение \(\displaystyle{x=x_0}\) и \(\displaystyle{y=y_0}\):

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

Обозначим \(\displaystyle{F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7}\) и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка \(\displaystyle{F_{x}^{'}}\), \(\displaystyle{F_{y}^{'}}\) и \(\displaystyle{F_{z}^{'}}\). После того, как мы найдём эти производные в общем виде, укажем их значения в точке \(\displaystyle{M_0}\):

Подставляя \(\displaystyle{x_0=0}\), \(\displaystyle{y_0=-3}\), \(\displaystyle{z_0=-2}\), \(\displaystyle{F_{x}^{'} \left(M_0\right)=-24}\), \(\displaystyle{F_{y}^{'} \left(M_0\right)=-5}\) и \(\displaystyle{F_{z}^{'} \left(M_0\right)=12}\) в формулы (1) и (2) получим уравнения касательной плоскости и нормали: