Нахождение суммы числового ряда. Вторая часть.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(\displaystyle{u_n=\frac{6}{9n^2+21n-8}}\). Для начала разложим выражение в знаменателе на множители: \(\displaystyle{9n^2+21n-8=(3n+8)(3n-1)}\).

Итак, общий член ряда теперь имеет такой вид: \(\displaystyle{u_n=\frac{6}{(3n+8)(3n-1)}}\). Разложим дробь \(\displaystyle{\frac{6}{(3n+8)(3n-1)}}\) на простейшие дроби:

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

Чтобы найти значения \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) есть два классических способа. Можно раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые по степеням переменной \(\displaystyle{n}\), а можно просто подставить вместо \(\displaystyle{n}\) некие подходящие значения. В предыдущей задаче №3 мы раскрывали скобки и составляли систему, а в этой задаче займёмся подстановкой частных значений \(\displaystyle{n}\).

Параметры \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) найдены. Впрочем, если вам удобнее находить их не подстановкой, а составлением и решением системы линейных уравнений, то можете глянуть процесс вычисления этих параметров в примечании.

Отмечу, что несмотря на то, что \(\displaystyle{n}\) принимает лишь натуральные значения, при нахождении параметров \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\) мы подставляли \(\displaystyle{n=-\frac{8}{3}}\) и \(\displaystyle{n=\frac{1}{3}}\). Никакого противоречия тут нет, так как равенство многочленов истинно не только при натуральных, но и при любых действительных значениях \(\displaystyle{n}\), посему в рамках подзадачи, связанной с отысканием \(\displaystyle{A}\) и \(\displaystyle{B}\), были использованы дробные подстановки.

Так как \(\displaystyle{A=-\frac{2}{3}}\) и \(\displaystyle{B=\frac{2}{3}}\), то:

Теперь обратимся к n-й частичной сумме. В задаче №3 предыдущей части темы были рассмотрены три способа сокращения записи частичных сумм. Используем третий способ. Сначала поработаем с частичными суммами ряда:

Приведём дробь \(\displaystyle{\frac{1}{3k+8}}\) к виду \(\displaystyle{\frac{1}{3k-1}}\):

Преобразуем \(\displaystyle{S_n}\):

Теперь нужно сделать так, чтобы пределы сумм стали одинаковыми и упростить полученное выражение:

Итак,осталось найти \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n}\):

Решение

Для начала разложим выражение в знаменателе на множители:

Стоит обратить внимание, что так как нижний предел суммирования не равен 1 (в нашем случае он равен 2), то выражение \(\displaystyle{\frac{7n-4}{n^3+n^2-2n}}\) не является общим членом ряда (см. задачу №2). Начать суммирование с единицы несложно:

Я предпочитаю записать именно так. Просто если оставить суммирование с \(\displaystyle{n=2}\), то придётся постоянно держать в памяти, что суммирование начинается не с \(\displaystyle{n=1}\). Т.е., например, вот такая запись уже будет ошибкой:

Если начинать суммирование с \(\displaystyle{n=2}\), то верной будет такая запись:

Чтобы избежать подобных весьма вероятных ошибок, проще записать исходный ряд в таком виде:

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда \(\displaystyle{u_n=\frac{7n+3}{n(n+1)(n+3)}}\). Разложим общий член ряда на простейшие дроби:

Процесс нахождения коэффициентов \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\) и \(\displaystyle{C}\) стандартный, причём уже был рассмотрен ранее в этой же теме, посему не вижу особого смысла его расписывать. В данном случае имеем \(\displaystyle{A=1}\), \(\displaystyle{B=2}\), \(\displaystyle{C=-3}\):

Теперь обратимся к n-й частичной сумме:

Приведём нижний предел каждой суммы к 1, а верхний – к \(\displaystyle{n+3}\):

Подставляем полученные выражения в \(\displaystyle{S_n}\), раскрываем скобки и сокращаем слагаемые:

Теперь найдём предел \(\displaystyle{\lim_{n\to\infty}S_n}\):

Решение

В этой задаче мы вполне можем применять тот же алгоритм, что и ранее. Разложить общий член ряда на элементарные дроби особого труда не составит:

Отыскать коэффициенты \(\displaystyle{A_i}\) не так уж и сложно. Можно применить, например, метод подстановки частных значений, а можно вычислить искомые коэффициенты и без дополнительных записей. Например, чтобы найти значение \(\displaystyle{A_2}\) поступим так: уберём в знаменателе дроби \(\displaystyle{\frac{3n-1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}\) скобку \(\displaystyle{(n+2)}\), а в оставшееся выражение подставим \(\displaystyle{n=-2}\):

Аналогично, убирая из знаменателя дроби \(\displaystyle{\frac{3n-1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}\) множитель \(\displaystyle{n}\) и подставляя в оставшееся выражение \(\displaystyle{n=0}\), получим \(\displaystyle{A_0}\):

Полную формулировку использованного нами правила можно прочесть в книге Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (первая часть) 2005 года издания в параграфе №8 главы №7 на странице 224. Мы же не станем продолжать решение этим способом. При желании довести его до конца не составит труда, однако же в данной задаче выгодно применить свойство, которое было сформулировано в предыдущей части. Если говорить конкретнее, то попробуем представить общий член ряда в таком виде: \(\displaystyle{u_n=b_{n+1}-b_n}\).

Попробуем поискать \(\displaystyle{b_n}\) в виде дроби, знаменатель которой равен \(\displaystyle{n(n+1)(n+2)(n+3)}\), а числитель имеет вид \(\displaystyle{an+c}\):

Соответственно, \(\displaystyle{b_{n+1}}\) таков:

Запишем разность \(\displaystyle{b_{n+1}-b_n}\):

Так как \(\displaystyle{u_n=b_{n+1}-b_n}\), то получим:

Итак, искомые параметры найдены, и \(\displaystyle{b_n}\) таков:

Таким образом, мы сразу можем записать результат. Так как \(\displaystyle{b=\lim_{n\to\infty}b_n=0}\) и \(\displaystyle{b_1=-\frac{1}{32}}\), то частичая сумма \(\displaystyle{S_n}\) и сумма \(\displaystyle{S}\) заданного ряда таковы: