Нахождение суммы числового ряда. Вторая часть.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac{6}{9n^2+21n-8}\). Для начала разложим выражение в знаменателе на скобки: \(9n^2+21n-8=(3n+8)(3n-1)\). Если вопрос получения этого разложения неясен, то прошу раскрыть примечание.

Итак, общий член ряда теперь имеет такой вид: \(u_n=\frac{6}{(3n+8)(3n-1)}\). Разложим дробь \(\frac{6}{(3n+8)(3n-1)}\) на элементарные дроби:

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

Чтобы найти значения \(A\) и \(B\) есть два пути. Можно раскрыть скобки, а можно просто подставить вместо \(n\) некие подходящие значения. В предыдущей задаче №3 мы раскрывали скобки и составляли систему, а в этой задаче займёмся подстановкой частных значений \(n\).

Коэффициенты \(A\) и \(B\) найдены. Впрочем, если вам удобнее находить их не подстановкой, а составлением и решением системы линейных уравнений, то можете глянуть процесс вычисления этих коэффициентов в примечании.

Так как \(A=-\frac{2}{3}\) и \(B=\frac{2}{3}\), то:

Теперь обратимся к n-й частичной сумме. В задаче №3 в первой части этой темы были рассмотрены три способа сокращения записи частичных сумм. Рассмотрим третий способ. Сначала поработаем с частичными суммами ряда:

Приведём дробь \(\frac{1}{3k+8}\) к виду \(\frac{1}{3k-1}\). Подробно этот процесс пояснялся в задаче №3 в первой части этой темы:

Продолжим решение, записав дробь \(\frac{1}{3k+8}\) в виде \(\frac{1}{3(k+3)-1}\):

Процесс перехода от суммы \(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3(k+3)-1}\) к сумме \(\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{3k-1}\) был подробно пояснён в примечании к задаче №3 в первой части этой темы. Теперь нужно сделать так, чтобы пределы сумм стали одинаковыми и упростить полученное выражение:

Итак,осталось найти \(\lim_{n\to\infty}S_n\):

Для начала разложим выражение в знаменателе на скобки:

Выражение \(\frac{7n-4}{n^3+n^2-2n}\) теперь имеет такой вид: \(\frac{7n-4}{n(n-1)(n+2)}\). Кстати сказать, стоит обратить внимание, что так как нижний предел суммирования не равен 1 (в нашем случае он равен 2), то выражение \(\frac{7n-4}{n^3+n^2-2n}\) не является общим членом ряда (см. задачу №2 на этой странице). В принципе, при желании несложно начать суммирование с единицы:

И, честно говоря, я предпочитаю записать именно так. Просто если оставить суммирование с \(n=2\), то придётся постоянно держать в памяти, что суммирование начинается не с \(n=1\). Т.е., например, вот такая запись уже будет ошибкой:

Если начинать суммирование с \(n=2\), то верной будет такая запись:

Чтобы избежать подобных весьма вероятных ошибок, проще записать исходный ряд в таком виде:

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда \(u_n=\frac{7n+3}{n(n+1)(n+3)}\). Разложим дробь \(\frac{7n+3}{n(n+1)(n+3)}\) на элементарные дроби:

Процесс нахождения коэффициентов \(A\), \(B\) и \(C\) стандартный, причём уже был рассмотрен ранее в этой же теме, посему не вижу особого смысла его расписывать. В данном случае имеем \(A=1\), \(B=2\), \(C=-3\).

Теперь обратимся к n-й частичной сумме:

Приведём нижний предел каждой суммы к 1, а верхний – к \(n+3\):

Подставляем полученные выражения в \(S_n\), раскрываем скобки и сокращаем слагаемые:

Итак, \(S_n=\frac{7}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{3}{n+2}-\frac{3}{n+3}\). Теперь найдём предел \(\lim_{n\to\infty}S_n\):

В этой задаче мы вполне можем применять тот же алгоритм, что и ранее. Разложить общий член ряда на элементарные дроби особого труда не составит.

Отыскать коэффициенты \(A_i\) не так уж и сложно. Можно применить, например, метод подстановки частных значений, а можно вычислить искомые коэффициенты и без дополнительных записей. Например, чтобы найти значение \(A_2\) поступим так: уберём в знаменателе дроби \(\frac{3n-1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\) скобку \((n+2)\), а в оставшееся выражение подставим \(n=-2\):

Аналогично, убирая из знаменателя дроби \(\frac{3n-1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\) множитель \(n\) и подставляя в оставшееся выражение \(n=0\), получим \(A_0\):

Полную формулировку использованного нами правила можно прочесть в книге Ильина и Поздняка "Основы математического анализа" (первая часть) 2005 года издания в параграфе №8 главы №7 на странице 224. Мы же не станем продолжать решение этим способом. При желании довести его до конца не составит труда, однако же в данной задаче выгодно применить свойство, которое было сформулировано в предыдущей части. Если говорить конкретнее, то попробуем представить общий член ряда в таком виде: \(u_n=b_{n+1}-b_n\).

Попробуем поискать \(b_n\) в виде дроби, знаменатель которой равен \(n(n+1)(n+2)(n+3)\), а знаменатель имеет вид \(an+c\):

Соответственно, \(b_{n+1}\) таков:

Запишем разность \(b_{n+1}-b_n\):

Так как \(u_n=b_{n+1}-b_n\), то получим:

Итак, искомые параметры найдены, и \(b_n\) таков:

Таким образом, мы сразу можем записать результат. Так как \(b=\lim_{n\to\infty}b_n=0\) и \(b_1=-\frac{1}{32}\), то частичая сумма \(S_n\) и сумма \(S\) заданного ряда таковы: