Задача №1257
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{(1+x)^2}{x\left(1+x^2\right)}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{(1+x)^2}{x\left(1+x^2\right)}dx
=\int\frac{1+2x+x^2}{x\left(1+x^2\right)}dx=\\
=\int\left(\frac{1+x^2}{x\left(1+x^2\right)}+\frac{2x}{x\left(1+x^2\right)}\right)dx
=\int\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{1+x^2}\right)dx
=\ln|x|+2\arctg{x}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\ln|x|+2\arctg{x}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №1 | Простейшие приёмы интегрирования |
| Задача №1700 |