Задача №1335
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}}\).
Решение
\[
\int\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}
=\int\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2}
=\int\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2dx}{\left(\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\cdot\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)\right)^2}=\\
=\int\frac{x^2-2x\sqrt{x^2-1}+x^2-1}{\left(x^2-\left(x^2-1\right)\right)^2}dx
=\int\left(2x^2-2x\sqrt{x^2-1}-1\right)dx=\\
=2\int{x^2}dx-\int\left(x^2-1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(x^2-1\right)-\int{dx}
=\frac{2x^3}{3}-\frac{2\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}{3}-x+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{2x^3}{3}-\frac{2\sqrt{\left(x^2-1\right)^3}}{3}-x+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №1 | Простейшие приёмы интегрирования |
| Задача №1778 |