Задача №1334
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{1+x-x^2}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{1+x-x^2}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}dx
=\int\frac{1-x^2}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}dx+\int\frac{xdx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}=\\
=\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{2}\int\left(1-x^2\right)^{-\frac{3}{2}}d\left(1-x^2\right)
=\arcsin{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1-x^2\right)^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}+C
=\arcsin{x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\arcsin{x}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №1 | Простейшие приёмы интегрирования |
| Задача №1777 |