Задача №1962
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}{\left(\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)\cdot\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{2x\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}{2x\cdot\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{1+x}\cdot\sqrt[3]{1-x}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=\frac{3}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{3}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №448 |