Задача №1092
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+x^2}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}{x^2\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{x^2\cdot\left(\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1}{\sqrt[3]{\left(1+x^2\right)^2}+\sqrt[3]{1+x^2}+1}
=\frac{1}{3}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{3}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №299 |