Задача №1093
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}
=\left[\frac{0}{0}\right]=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}\right)\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}{x\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{2x}{x\cdot\left(\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{2}{\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}+\sqrt[3]{(1-x)^2}}
=\frac{2}{3}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{2}{3}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №300 |