Задача №1960
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}}\).
Решение
\[\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}{\left(x+x^2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{3x-x^2}{\left(x+x^2\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{x(3-x)}{x\left(1+x\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{3-x}{\left(1+x\right)\cdot\left(\sqrt[3]{\left(8+3x-x^2\right)^2}+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{4}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №446 |