Задача №1959
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}}\).
Решение
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)\right)\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{1-2x-x^2-(1+x)^2}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{-2x\cdot(x+2)}{x\cdot\left(\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right)}=\\
=-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{x+2}{\sqrt{1-2x-x^2}+1+x}=-2\cdot\frac{2}{2}=-2.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-2}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №445 |