Задача №1952
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1)^2}}\), где \(\displaystyle{n\in{N}}\).
Решение
Ответ в этой задаче легко получить, исходя из результатов задачи 1951, подставив \(\displaystyle{n+1}\) вместо \(\displaystyle{n}\) и приняв \(\displaystyle{a=1}\).
Однако при желании можно вычислить этот предел, не опираясь на упомянутую задачу. Для это делаем замену \(\displaystyle{t=x-1}\), \(\displaystyle{t\to{0}}\). Для строгого изложения стоит рассмотреть отдельно случай \(\displaystyle{n=1}\), – заданный предел будет равен 1. Если же \(\displaystyle{n\ge{2}}\), то получим:
При \(\displaystyle{n=1}\) имеем \(\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}=1}\), т.е. выражение \(\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}\) будет ответом для данного предела при любом \(\displaystyle{n\in{N}}\).
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №427 |