Задача №1949
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}}\).
Решение
Используя схему Горнера, разделим многочлен \(\displaystyle{x^n+\ldots+x^2+x-n}\) на \(\displaystyle{x-1}\):
\[
\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c} & 1 & 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & -n\\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots & n & 0 \end{array}
\]
\[
x^n+\ldots+x^2+x-n
=(x-1)\left(x^{n-1}+2x^{n-2}+3x^{n-3}+4x^{n-4}+\ldots+n\right)
\]
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{x+x^2+\ldots+x^n-n}{x-1}
=\lim_{x\to{1}}\frac{(x-1)\left(x^{n-1}+2x^{n-2}+3x^{n-3}+4x^{n-4}+\ldots+n\right)}{x-1}=\\
=\lim_{x\to{1}}\left(x^{n-1}+2x^{n-2}+3x^{n-3}+4x^{n-4}+\ldots+n\right)
=1+2+3+4+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №424 | |
| Пункт №1 |