Задача №1073
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{x^m-1}{x^n-1}}\).
Решение
Первый способ
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{x^m-1}{x^n-1}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\lim_{x\to{1}}\frac{(x-1)\left(x^{m-1}+x^{m-2}+...+1\right)}{(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\right)}
=\lim_{x\to{1}}\frac{x^{m-1}+x^{m-2}+...+1}{x^{n-1}+x^{n-2}+...+1}
=\frac{m}{n}.
\]
Второй способ
Введём новую переменную \(\displaystyle{t=x-1}\), \(\displaystyle{t\to{0}}\).
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{x^m-1}{x^n-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{(1+t)^m-1}{(1+t)^n-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{1+mt+o(t)-1}{1+nt+o(t)-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{mt+o(t)}{nt+o(t)}
=\frac{m}{n}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{m}{n}}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №2 | Предел. Непрерывность |
| Параграф №4 | Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых |
| Задача №280 |
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №24 | |
| Пункт №1 |
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №425 |