Задача №1946
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}}\), где \(\displaystyle{m\in{N}}\), \(\displaystyle{n\in{N}}\).
Решение
Применяя формулу бинома Ньютона, получим:
\[
(1+mx)^n
=1+mnx+\frac{(n-1)n}{2}\cdot{n^2x^2}+o\left(x^2\right);\\
(1+nx)^m
=1+mnx+\frac{(m-1)m}{2}\cdot{m^2x^2}+o\left(x^2\right).
\]
Возвращаясь к исходному пределу, получим:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{1+mnx+\frac{(n-1)n}{2}\cdot{n^2x^2}+o\left(x^2\right)-\left(1+mnx+\frac{(m-1)m}{2}\cdot{m^2x^2}+o\left(x^2\right)\right)}{x^2}=\\
=\lim_{x\to{0}}\left(\frac{(n-1)n}{2}\cdot{n^2}+\frac{(m-1)m}{2}\cdot{m^2}+\frac{o\left(x^2\right)}{x^2}\right)
=\frac{nm\cdot(n-m)}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{nm\cdot(n-m)}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №414 |