Задача №1951

Условие

Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}}\).

Решение

В принципе, несложно рассмотреть отдельно случай \(\displaystyle{n=1}\), получив в ответе 0, а также \(\displaystyle{n=2}\), получив в ответе 1. В дальнейшем решении будем полагать \(\displaystyle{n\ge{3}}\).

Первый способ

\[ \left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a) =(x-a)\cdot\left(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\ldots+a^{n-2}x+a^{n-1}-na^{n-1}\right) \]

Разделим многочлен, стоящий во второй скобке, на \(\displaystyle{x-a}\) по схеме Горнера:

\[ \begin{array} {c|c|c|c|c|c|c} & 1 & a & a^2 & \ldots & a^{n-2} & a^{n-1}-na^{n-1}\\ \hline a & 1 & 2a & 3a^2 & \ldots & (n-1)a^{n-2} & 0 \end{array} \]

\[ x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\ldots+a^{n-2}x+a^{n-1}-na^{n-1}=\\ =(x-a)\cdot\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right) \]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

\[ \lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2}=\\ =\lim_{x\to{a}}\frac{(x-a)^2\cdot\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right)}{(x-a)^2}=\\ =\lim_{x\to{a}}\left(x^{n-2}+2ax^{n-3}+3a^2x^{n-4}+...+(n-1)a^{n-2}\right)=\\ =(1+2+\ldots+(n-1))\cdot{a^{n-2}} =\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}} \]

Стоит отметить, что при \(\displaystyle{n=1}\) имеем \(\displaystyle{\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}=0}\), а при \(\displaystyle{n=2}\) получим \(\displaystyle{\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}=1}\), т.е. те же самые ответы, что были найдены в начале решения. Таким образом, рассматриваемый предел равен \(\displaystyle{\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}}\) при всех \(\displaystyle{n\in{N}}\).

Второй способ

Замена: \(\displaystyle{t=x-a}\), \(\displaystyle{t\to{0}}\).

\[ \lim_{x\to{a}}\frac{\left(x^n-a^n\right)-na^{n-1}(x-a)}{(x-a)^2} =\lim_{t\to{0}}\frac{(a+t)^n-a^n-na^{n-1}t}{t^2}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{a^n+na^{n-1}t+\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}t^2+o\left(t^2\right)-a^n-na^{n-1}\cdot{t}}{t^2}=\\ =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}+\frac{o\left(t^2\right)}{t^2}\right) =\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}. \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{(n-1)n}{2}\cdot{a^{n-2}}}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №5	Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу"
Раздел №1	Введение в анализ
Задача №426