Задача №1256
Условие
Найти интеграл \(\displaystyle{\int\frac{1+2x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}dx}\).
Решение
\[
\int\frac{1+2x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}dx
=\int\frac{1+x^2+x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}dx
=\int\left(\frac{1+x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}+\frac{x^2}{x^2\left(1+x^2\right)}\right)dx=\\
=\int\left(x^{-2}+\frac{1}{1+x^2}\right)dx
=\frac{x^{-1}}{-1}+\arctg{x}+C
=-\frac{1}{x}+\arctg{x}+C
\]
Ответ:
\(\displaystyle{-\frac{1}{x}+\arctg{x}+C}\)Источники задачи
| Задачник №1 | Берман "Сборник задач по курсу математического анализа" |
| Глава №6 | Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление |
| Параграф №1 | Простейшие приёмы интегрирования |
| Задача №1699 |