Задача №1895
Условие
Пусть \(\displaystyle{S_n}\) – сумма первых \(\displaystyle{n}\) членов геометрической прогрессии. Доказать, что
\[
S_n\left(S_{3n}-S_{2n}\right)=\left(S_{2n}-S_n\right)^2
\]
Решение
\[
\begin{aligned}
& S_n\left(S_{3n}-S_{2n}\right)=S_n\cdot\sum_{i=1}^{n}b_{2n+i}=S_n\cdot\sum_{i=1}^{n}b_{1}q^{2n+i-1}=q^{2n}S_n\cdot\sum_{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=q^{2n}S_{n}^{2}.\\
& \left(S_{2n}-S_n\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{n+i}\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{1}q^{n+i-1}\right)^2=\left(q^n\sum_{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}\right)^2=q^{2n}S_{n}^{2}.
\end{aligned}
\]
Ответ:
Равенство доказано.
Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №4 | Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства |
| Задача №5 |