Задача №1904

Условие

Вычислить двойную сумму \(\displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}}\), если \(\displaystyle{a_{ij}=i-j}\).

Решение

\[ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij} =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}(i-j) =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}j \]

Каждую из полученных сумм можно вычислить, а затем найти разность результатов, однако такой путь совсем никчёмный.

Изменим порядок суммирования во второй сумме:

\[ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i-\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}j =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i-\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}j \]

В полученном выражении, можно, конечно, найти внутренние суммы, получив при этом

\[ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i-\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}j =\sum\limits_{i=1}^{n}(in)-\sum\limits_{j=1}^{n}(jn) =0 \]

Напомню, что от смены индекса суммирования сумма не изменится, т.е. \(\displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{n}(in)=\sum\limits_{j=1}^{n}(jn)}\), посему разность этих сумм и равна 0.

Однако такой способ решения хоть и немного лучше первого варианта, однако всё же требует дополнительных вычислений. Гораздо проще заметить очевидное: суммы \(\displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i}\) и \(\displaystyle{\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}j}\) равны между собою, поэтому их разность есть 0. Можем показать это формально, пару раз переименовав индекс суммирования. Запись \(\displaystyle{i\to{k}}\) в указанных ниже преобразованиях будет означать замену \(\displaystyle{i}\) на \(\displaystyle{k}\):

\[ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i =[i\to{k}] =\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}k =[j\to{i}] =\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}k =[k\to{j}] =\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}j \]

Отсюда сразу получаем

\[ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij} =\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}i-\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}j =0 \]

Ответ:

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №2	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1)
Параграф №4	Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства
Задача №9
Пункт №3