Задача №1897

Решение

В самом начале решения стоит рассмотреть пару общих формул, которые будут необходимы в дальнейшем. Для начала рассмотрим сумму \(\displaystyle{S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k}\). Если \(\displaystyle{q=1}\), то получим:

Рассмотрим случай \(\displaystyle{q\neq{1}}\) в предположении, что \(\displaystyle{n\ge{2}}\).

Мы пришли к равенству

Из этого равенства имеем:

К слову сказать, хоть и выводили мы эту формулу при условии \(\displaystyle{n\ge{2}}\), однако же она даёт верный результат и при \(\displaystyle{n=1}\).

Если в выражение \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k}\) вместо \(\displaystyle{q}\) подставить \(\displaystyle{\frac{1}{q}}\), то с учётом \(\displaystyle{\left(\frac{1}{q}\right)^k=\frac{1}{q^k}}\), можно записать формулу \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\) в таком виде:

Теперь обратимся непосредственно к самой задаче.

Запишем каждое слагаемое в заданной сумме в таком виде:

Заданная сумма будет содержать \(\displaystyle{n}\) слагаемых, равных 1; \(\displaystyle{n-1}\) слагаемых, равных 10; \(\displaystyle{n-2}\) слагаемых, равных \(\displaystyle{10^2}\) и т.д., т.е. слагаемое \(\displaystyle{10^{i}}\) будет повторено \(\displaystyle{n-i}\) раз. Это значит, что заданную сумму можно записать в таком виде:

Честно говоря, подобные умозрительные рассуждения всегда казались мне довольно зыбкими. Однако несложно подвести под них прочный фундамент, для чего используем метод математической индукции. Гипотеза такова:

При \(\displaystyle{n=1}\) равенство истинно. Пусть оно истинно и при \(\displaystyle{n=k}\), т.е.

Докажем истинность равенства и при \(\displaystyle{n=k+1}\):

Итак, при \(\displaystyle{n=k+1}\) равенство выполнено. Значит, оно выполняется для любого \(\displaystyle{n\in{N}}\). Теперь вернёмся к исходной задаче. Используя формулу \(\displaystyle{\eqref{eq:1}}\), будем иметь: