Задача №2452

Условие

Пусть \(\displaystyle{\{a_n\}}\) и \(\displaystyle{\{b_n\}}\) – заданные последовательности чисел. Доказать:

Если \(\displaystyle{B_m = \sum\limits_{j=1}^{m}b_j}\), то при любом \(\displaystyle{n\in{N}}\) справедливо равенство (преобразование Абеля):

\[ \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}a_k b_k =\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k + a_n B_n \end{equation} \]

А при любом \(\displaystyle{n\in{N}}\) и при любом \(\displaystyle{p\in{N}}\) выполняется равенство

\[ \begin{equation} \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_k b_k =\sum\limits_{k=n+1}^{n+p-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k + a_{n+p} B_{n+p} - a_{n+1} B_n \end{equation} \]
Если \(\displaystyle{D_s = \sum\limits_{j=n+1}^{n+s}b_j}\), то для любого \(\displaystyle{p\in{N}}\) выполняется равенство

\[ \begin{equation} \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_k b_k = \sum\limits_{j=1}^{p-1}\left( a_{n+j} - a_{n+j+1}\right)D_j + a_{n+p} D_p \end{equation} \]

Решение

Сделаем пару предварительных замечаний. В задачнике есть опечатки, так как верхний предел суммирования в правой части равенства (1) должен быть равен \(\displaystyle{n-1}\), а не \(\displaystyle{n}\). В формуле (2) вместо \(\displaystyle{n+p}\) верхний предел суммы должен быть равен \(\displaystyle{n+p-1}\).

Перейдём к доказательству формулы (1). Для начала рассмотрим небольшой вопрос: а что будет с суммой в правой части равенства, если \(\displaystyle{n=1}\)? Ведь в этом случае мы получим сумму \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{0}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k}\), в которой верхний предел суммирования меньше нижнего. В этом случае полагают сумму равной 0, и доказываемая формула (1) при \(\displaystyle{n=1}\) станет такой:

\[ a_1 b_1 =a_1 B_1 \]

Полученное равенство, разумеется, верно, так как \(\displaystyle{B_1 = \sum\limits_{j=1}^{1}b_k=b_1}\). Мне видится целесообразным избегать ситуаций, в которых верхний предел суммирования меньше нижнего. Мы уже доказали формулу (1) при \(\displaystyle{n=1}\), посему далее будем рассматривать лишь случай \(\displaystyle{n\ge{2}}\).

Обсудим само доказательство. Мы можем использовать метод математической индукции, однако это неспортивно: метод индукции не позволяет вывести равенство, – лишь доказать существующее. Можно поработать с правой частью формулы (1), приведя его к левой части, однако это не интересно, ведь куда любопытнее не разобрать на части готовую формулу, а понять, как эта формула была выведена. Так что станем работать с левой частью формулы (1) и приведём её к правой части.

Идея доказательства основана на таком очевидном равенстве (при \(\displaystyle{k\ge{2}}\)):

\[ b_k = b_1 + b_2 + \ldots + b_k - \left(b_1 + b_2 + \ldots + b_{k-1}\right) =B_k - B_{k-1} \]

Тут опять возникает проблема – а что делать при \(\displaystyle{k=1}\)? Ведь если формально следовать равенству \(\displaystyle{b_k=B_k - B_{k-1}}\), мы получим \(\displaystyle{b_1 = B_1 - B_0}\), а попытка вычислить \(\displaystyle{B_0}\) приведёт нас к сумме \(\displaystyle{\sum\limits_{j=1}^{0}b_j}\). Вновь верхний предел суммирования меньше нижнего, поэтому мы можем принять \(\displaystyle{B_0 = 0}\). Теперь равенство \(\displaystyle{b_k = B_k - B_{k-1}}\) станет истинным при любом \(\displaystyle{k\in{N}}\).

В принципе, основываясь на \(\displaystyle{B_0=0}\), можно провести корректное доказательство, однако отмечу, что в формуле (1) элемента \(\displaystyle{B_0}\) нет, посему чтобы не определять дополнительной сущности в виде \(\displaystyle{B_0}\), поступим немного по-иному: "заберём" из суммы \(\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}a_k b_k}\) первый элемент, и тогда проблема значения \(\displaystyle{k=1}\) нам не грозит. При этом не забываем, что \(\displaystyle{n\ge{2}}\).

\[ \sum\limits_{k=1}^{n}a_k b_k =a_1 b_1 + \sum\limits_{k=2}^{n}a_k b_k = a_1 b_1 + \sum\limits_{k=2}^{n}a_k \left( B_k - B_{k-1}\right) = a_1 b_1 + \sum\limits_{k=2}^{n}a_k B_k - \sum\limits_{k=2}^{n}a_k B_{k-1} \]

Теперь вернём обратно слагаемое \(\displaystyle{a_1 b_1}\) в первую сумму, а во второй сумме на единицу уменьшим пределы суммирования:

\[ a_1 b_1 + \sum\limits_{k=2}^{n}a_k B_k - \sum\limits_{k=2}^{n}a_k B_{k-1} =\sum\limits_{k=1}^{n}a_k B_k - \sum\limits_{k=1}^{n-1}a_{k+1} B_{k}=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n-1}a_k B_k + a_n B_n - \sum\limits_{k=1}^{n-1}a_{k+1} B_{k} =\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left( a_k B_k - a_{k+1} B_{k}\right) + a_n B_n =\sum\limits_{k=1}^{n-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k + a_n B_n \]

Равенство (1) доказано.

Теперь, опираясь на уже доказанное утверждение, докажем второе равенство этой задачи. Подставим в формулу (1) верхний предел суммирования, равный \(\displaystyle{n+p}\):

\[ \sum\limits_{k=1}^{n+p}a_k b_k =\sum\limits_{k=1}^{n+p-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k + a_{n+p} B_{n+p} \]

Теперь вычтем из обеих частей этого равенства соответствующие части равенства (1):

\[ \sum\limits_{k=1}^{n+p}a_k b_k - \sum\limits_{k=1}^{n}a_k b_k =\sum\limits_{k=1}^{n+p-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k - \sum\limits_{k=1}^{n-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k + a_{n+p} B_{n+p} - a_n B_n \]

\[ \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_k b_k =\sum\limits_{k=n}^{n+p-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k + a_{n+p} B_{n+p} - a_n B_n \]

"Заберём" первый элемент, для которого \(\displaystyle{k=n}\), из суммы в правой части полученного равенства:

\[ \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_k b_k =\sum\limits_{k=n+1}^{n+p-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k + \left( a_n - a_{n+1}\right)B_n + a_{n+p} B_{n+p} - a_n B_n =\\ =\sum\limits_{k=n+1}^{n+p-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k + a_{n+p} B_{n+p} - a_{n+1} B_n \]

Формула (2) доказана. Можно доказать формулу (2) и без использования формулы (1), – применяя то самое равенство \(\displaystyle{b_k = B_k - B_{k-1}}\), которое было задействовано для доказательства равенства (1). Образец такого доказательства можно найти, например, в первом томе А.И. Маркушевича "Теория аналитических функций" издания 1967 года (стр. 32).

Теперь докажем третье равенство задачи. Будем использовать формулу (2). Для начала немного поработаем с суммой в правой части формулы (2): поменяем букву \(\displaystyle{k}\) на \(\displaystyle{j}\) (именно такая буква используется в сумме, находящейся в правой части доказываемого равенства (3)), а затем изменим пределы суммирования:

\[ \sum\limits_{k=n+1}^{n+p-1}\left( a_k - a_{k+1}\right)B_k =\sum\limits_{j=n+1}^{n+p-1}\left( a_j - a_{j+1}\right)B_j =\sum\limits_{j=1}^{p-1}\left( a_{n+j} - a_{n+j+1}\right)B_{n+j} \]

Теперь учтём равенство \(\displaystyle{D_s = B_{n+s} - B_n}\), исходя из которого имеем \(\displaystyle{B_{n+j} = D_j + B_n}\), \(\displaystyle{B_{n+p} = D_p + B_n}\). Запишем формулу (2) с учётом вышеизложенного, а затем продолжим преобразования:

\[ \sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_k b_k =\sum\limits_{j=1}^{p-1}\left( a_{n+j} - a_{n+j+1}\right)B_{n+j} + a_{n+p} B_{n+p} - a_{n+1} B_n = \\ =\sum\limits_{j=1}^{p-1}\left( a_{n+j} - a_{n+j+1}\right)(D_j + B_n) + a_{n+p} (D_p + B_n) - a_{n+1} B_n = \\ = \sum\limits_{j=1}^{p-1}\left( a_{n+j} - a_{n+j+1}\right)D_j + a_{n+p} D_p + B_n \left( \sum\limits_{j=1}^{p-1}\left( a_{n+j} - a_{n+j+1}\right) + a_{n+p} - a_{n+1}\right) \]

Формула (3) почти доказана, – осталось лишь показать, что выражение в скобках равно 0:

\[ \sum\limits_{j=1}^{p-1}\left( a_{n+j} - a_{n+j+1}\right) + a_{n+p} - a_{n+1} =\sum\limits_{j=1}^{p-1}a_{n+j} - \sum\limits_{j=1}^{p-1}a_{n+j+1} + a_{n+p} - a_{n+1} = \\ =\sum\limits_{j=1}^{p-1}a_{n+j} - \sum\limits_{j=2}^{p}a_{n+j} + a_{n+p} - a_{n+1} =\sum\limits_{j=1}^{p-1}a_{n+j}+a_{n+p} - \left(a_{n+1} + \sum\limits_{j=2}^{p}a_{n+j} \right) =\sum\limits_{j=1}^{p}a_{n+j} - \sum\limits_{j=1}^{p}a_{n+j} =0 \]

Формула (3) доказана.

Ответ:

Все равенства доказаны.

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №2	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1)
Параграф №4	Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства
Задача №12