Задача №1905

Условие

Вычислить двойную сумму \(\displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}}\), если \(\displaystyle{a_{ij}=|i-j|}\).

Решение

Разобьём сумму \(\displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}}\) на три: \(\displaystyle{S_1}\), \(\displaystyle{S_2}\) и \(\displaystyle{S_3}\). В первую сумму \(\displaystyle{S_1}\) запишем те члены, у которых \(\displaystyle{i=j}\), т.е. \(\displaystyle{a_{ii}=|i-i|=0}\). Соответственно, \(\displaystyle{S_1=0}\).

В сумму \(\displaystyle{S_2}\) поместим те члены \(\displaystyle{a_{ij}}\), у которых \(\displaystyle{i\lt{j}}\), а в третью сумму \(\displaystyle{S_3}\) поместим те члены, у которых \(\displaystyle{i\gt{j}}\). Для каждого слагаемого \(\displaystyle{a_{ij}}\) из суммы \(\displaystyle{S_2}\) существует слагаемое \(\displaystyle{a_{ji}}\) из суммы \(\displaystyle{S_3}\). И наоборот: для каждого слагаемого \(\displaystyle{a_{ij}}\) из третьей суммы существует слагаемое \(\displaystyle{a_{ji}}\) из второй суммы, т.е. суммы \(\displaystyle{S_2}\) и \(\displaystyle{S_3}\) содержат равное количество слагаемых. Так как при этом \(\displaystyle{a_{ij}=|i-j|=|j-i|=a_{ji}}\), то \(\displaystyle{S_2=S_3}\). Таким образом, исходная сумма будет равна \(\displaystyle{2S_2}\).

Отмечу, что членов исходной суммы, для которых \(\displaystyle{i\lt{j}}\) и \(\displaystyle{i\gt{j}}\) может и не быть. Такая ситуация будет иметь место лишь при \(\displaystyle{n=1}\). В этом случае исходная сумма будет равна 0, что легко проверить непосредственным вычислением. Так как случай \(\displaystyle{n=1}\) уже рассмотрен, то дальнейшие рассуждения можно проводить при \(\displaystyle{n\ge{2}}\). А можно просто при \(\displaystyle{n=1}\) принять \(\displaystyle{S_2=S_3=0}\), тогда случай \(\displaystyle{n=1}\) отдельно выделять не придётся.

Немного наглядности и формализма

Для наглядности все члены исходной суммы можно мысленно представить в виде элементов квадратной матрицы размера \(\displaystyle{n\times{n}}\). Тогда \(\displaystyle{S_1}\) – это сумма элементов, лежащих на главной диагонали; \(\displaystyle{S_2}\) – сумма элементов, лежащих над главной диагональю; \(\displaystyle{S_3}\) – сумма элементов, лежащих под главной диагональю. При этом так как \(\displaystyle{a_{ij}=a_{ji}}\), то матрица будет симметричной, что означает \(\displaystyle{S_2=S_3}\).

Разумеется, показать равенство сумм \(\displaystyle{S_2}\) и \(\displaystyle{S_3}\) можно и формально. Эти суммы таковы:

\[ \begin{aligned} & S_2 = \sum\limits_{1\le{i}\lt{j}\le{n}}a_{ij} = \sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^{n}a_{ij}\\ & S_3 = \sum\limits_{1\le{j}\lt{i}\le{n}}a_{ij} = \sum\limits_{j=1}^{n-1}\sum\limits_{i=j+1}^{n}a_{ij} \end{aligned} \]

Теперь покажем, что \(\displaystyle{S_2=S_3}\). В выкладках ниже запись \(\displaystyle{j\to{k}}\) означает, что букву \(\displaystyle{j}\) заменили буквой \(\displaystyle{k}\). При этом не забываем, что \(\displaystyle{a_{ij}=a_{ji}}\):

\[ S_2 =\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^{n}a_{ij} =[j\to{k}] =\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{k=i+1}^{n}a_{ik} =[i\to{j}] =\sum\limits_{j=1}^{n-1}\sum\limits_{k=j+1}^{n}a_{jk} =[k\to{i}] =\sum\limits_{j=1}^{n-1}\sum\limits_{i=j+1}^{n}a_{ji} =S_3 \]

\[ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij} =2S_2 =2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^{n}(j-i) =2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\sum\limits_{j=i+1}^{n}j-\sum\limits_{j=i+1}^{n}i\right)=\\ =2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\frac{i+1+n}{2}\cdot(n-i)-i\cdot(n-i)\right) =2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{2}i^2-\left(n+\frac{1}{2}\right)i+\frac{n^2+n}{2}\right)=\\ =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\left(n+\frac{1}{2}\right)\cdot(n+1)n+\left(n^2+n\right)\cdot{n} =\frac{n\left(n^2-1\right)}{3} \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{n\left(n^2-1\right)}{3}}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №2	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1)
Параграф №4	Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства
Задача №9
Пункт №4