Задача №1966

Условие

Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}}\), \(\displaystyle{m\in{N}}\), \(\displaystyle{n\in{N}}\).

Решение

Здесь можно использовать метод выделения главной части, а можно и результат задачи 1958, т.е. \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}}\). Также учтём доказанный в ходе решения задачи 1958 предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\sqrt[n]{1+x}=1}\).

Если принять, что \(\displaystyle{\alpha\neq{0}}\) и \(\displaystyle{\beta\neq{0}}\), то получим:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\alpha{x};\;x=\frac{t}{\alpha};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\alpha\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac{\alpha}{m};\\ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=\beta{x};\;x=\frac{t}{\beta};\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\beta\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}=\frac{\beta}{n}. \end{aligned} \]

Полученные результаты верны и при \(\displaystyle{\alpha=0}\) и \(\displaystyle{\beta=0}\), что подтверждается непосредственной проверкой. Таким образом, исходный предел преобразуется так:

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1-\left(\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1\right)}{x}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}-\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x}\right) =\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-1}{x}-\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+\beta{x}}-1}{x} =\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}. \]

Можно использовать и выделение главной части. Результат, разумеется, будет таким же:

\[ \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha{x}}-\sqrt[n]{1+\beta{x}}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\frac{1+\frac{\alpha{x}}{m}+o(x)-\left(1+\frac{\beta{x}}{n}+o(x)\right)}{x}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}+o(x)}{x}=\left|\begin{aligned}&\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}+o(x)\sim\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n};\\&x\sim{x}.\end{aligned}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\alpha{x}}{m}-\frac{\beta{x}}{n}}{x}=\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}. \]

Ответ:

\(\displaystyle{\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}}\)

Источники задачи

Перейти к списку всех задачников

Задачник №2	Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1)
Параграф №9	Предел функции
Задача №28
Пункт №3

Задачник №5	Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу"
Раздел №1	Введение в анализ
Задача №452