Задача №1970
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)}\).
Решение
Я исправил условие этого примера. Дело в том, что в задачнике (по крайней мере, в книге 2005 года издания) указано такое условие: \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right)}\). Но в этом случае получим в ответе \(\displaystyle{\infty}\), что не соответствует ответу, размещенному в задачнике, т.е. \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\). Поэтому я исправил опечатку, заменив в числителе второй дроби число 3 числом 2.
Осуществим замену переменной, приняв \(\displaystyle{x=t^6}\). Приводя дроби к одному знаменателю, будем иметь:
\[
\lim_{x\to{1}}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right)=\left|\infty-\infty\right|=\left|\begin{aligned}&x=t^6;\\&t\to{1}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{1}}\left(\frac{3}{1-t^3}-\frac{2}{1-t^2}\right)=\\
=\lim_{t\to{1}}\left(\frac{3}{(1-t)\cdot\left(1+t+t^2\right)}-\frac{2}{(1-t)\cdot(1+t)}\right)
=\lim_{t\to{1}}\frac{1+t-2t^2}{(1-t)(1+t)\left(1+t+t^2\right)}=\\
=\lim_{t\to{1}}\frac{(1-t)(1+2t)}{(1-t)(1+t)\left(1+t+t^2\right)}
=\lim_{t\to{1}}\frac{1+2t}{(1+t)\left(1+t+t^2\right)}=\frac{1}{2}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{2}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №455 | |
| Пункт №2 |