Задача №1971
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\sqrt[n]{x}\right)}{(1-x)^{n-1}}}\).
Решение
Используем результат задачи 1958, т.е. \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}}\). Осуществим замену переменной \(\displaystyle{x=1+t}\):
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\cdot\left(1-\sqrt[3]{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1-\sqrt[n]{x}\right)}{(1-x)^{n-1}}
=\lim_{x\to{1}}\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x}-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(\sqrt[n]{x}-1\right)}{(x-1)^{n-1}}=\\
=\left[\begin{aligned}& x=t+1;\\& t\to{0}.\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+t}-1\right)\cdot\left(\sqrt[3]{1+t}-1\right)\cdot\ldots\cdot\left(\sqrt[n]{1+t}-1\right)}{t^{n-1}}=\\
=\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}\cdot\frac{\sqrt[3]{1+t}-1}{t}\cdot\ldots\cdot\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}\right)
=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n!}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{1}{n!}}\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №456 |