Задача №1969
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}}\).
Решение
Можно использовать результат задачи 1958, т.е. \(\displaystyle{\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}}\). Осуществим замену переменной \(\displaystyle{x=1+t}\):
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\left[\begin{aligned}& x=1+t;\\& t\to{0}.\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{\sqrt[n]{1+t}-1}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}}{\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}}
=\frac{\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}}}{\displaystyle{\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+t}-1}{t}}}=\frac{n}{m}
\]
Можно решить и иным путём, сделав замену \(\displaystyle{x=t^{mn}}\):
\[
\lim_{x\to{1}}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}
=\left[\frac{0}{0}\right]
=\left[\begin{aligned}& x=t^{mn};\\& t\to{1}.\end{aligned}\right]
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^n-1}{t^m-1}=\\
=\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)\cdot\left(t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+t+1\right)}{(t-1)\cdot\left(t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+t+1\right)}
=\lim_{t\to{1}}\frac{t^{n-1}+t^{n-2}+\ldots+t+1}{t^{m-1}+t^{m-2}+\ldots+t+1}
=\frac{n}{m}
\]
Отмечу, что подобные примеры допускают немало вариантов решения. Можно пойти и иным путем, сделав замену \(\displaystyle{x=(1+t)^{mn}}\), где \(\displaystyle{t\to{0}}\), после чего применить, например, эквивалентности. Или же изначально использовать домножение на выражения, сопряжённые числителю и знаменателю.
Ответ:
\(\displaystyle{\frac{n}{m}}\)Источники задачи
| Задачник №2 | Кудрявцев "Сборник задач по математическому анализу" (том №1) |
| Параграф №9 | Предел функции |
| Задача №28 | |
| Пункт №1 |
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №455 | |
| Пункт №1 |