Решение
Здесь можно использовать разные способы, но я бы предпочёл использование формулы Маклорена. Для начала разложим \(\displaystyle{\sqrt[5]{1+5x}}\):
\[
\sqrt[5]{1+5x}
=(1+5x)^{\frac{1}{5}}
=1+\frac{1}{5}\cdot{5x} + \frac{\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{1}{5}-1\right)}{2!}\cdot(5x)^2 + o(x^2)
=1+x-2x^2+o(x^2)
\]
А теперь вернёмся к пределу:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}
=\left|\frac{0}{0}\right|=\\
=\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{1+x-2x^2+o(x^2)-(1+x)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{-2x^2+o(x^2)}
=\lim_{x\to{0}}\frac{1}{-2+\frac{o(x^2)}{x^2}}
=-\frac{1}{2}
\]
С моей точки зрения, такой путь наиболее удобный, однако, разумеется, есть и иные варианты. Можно домножить на сопряжённое выражение, можно применить замену переменной. Полагая \(\displaystyle{t=\sqrt[5]{1+5x}}\), получим: \(\displaystyle{x=\frac{t^5-1}{5}}\). Так как \(\displaystyle{x\to{0}}\), то \(\displaystyle{t\to{1}}\):
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}
=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{t\to{1}}\frac{\left(\frac{t^5-1}{5}\right)^2}{t-\left(1+\frac{t^5-1}{5}\right)}=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{\left(t^5-1\right)^2}{t^5-5t+4}=\\
=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{(t-1)^2\cdot\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)^2}{(t-1)^2\cdot\left(t^3+2t^2+3t+4\right)}
=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{1}}\frac{\left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)^2}{(t^3+2t^2+3t+4}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{25}{10}=-\frac{1}{2}.
\]
Решение можно было оформить и чуток по-иному, используя выделение главной части (см. Ляшко, Боярчук, Гай, Головач "Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл", №160 (стр.74)). Полагая \(\displaystyle{t=\sqrt[5]{1+5x}-1}\), получим: \(\displaystyle{x=\frac{(t+1)^5-1}{5}}\). Так как \(\displaystyle{t\to{0}}\), то:
\[
\lim_{x\to{0}}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{t\to{0}}\frac{\left(\frac{(t+1)^5-1}{5}\right)^2}{t+1-\left(1+\frac{(t+1)^5-1}{5}\right)}=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\left((t+1)^5-1\right)^2}{(t+1)^5-5t-1}=\\
=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{\left(5t+o(t)\right)^2}{5t+10t^2+1+o(t^2)-5t-1}
=-\frac{1}{5}\cdot\lim_{t\to{0}}\frac{25t^2+o(t^2)}{10t^2+o(t^2)}=\\
=-\lim_{t\to{0}}\frac{t^2+o(t^2)}{2t^2+o(t^2)}
=\left|\begin{aligned}& t^2+o(t^2)\sim{t^2}\\& 2t^2+o(t^2)\sim{2t^2}\end{aligned}\right|
=-\lim_{t\to{0}}\frac{t^2}{2t^2}=-\frac{1}{2}.
\]