Решение
Этот пример можно решить несколькими способами; выбирайте тот, который вам более нравится: домножить на сопряжённое, разбить на два предела, применить асимптотические равенства (метод выделения главной части).
Первый способ
Чтобы не загромождать решение длинными записями, я заранее напишу те сопряжённые выражения, на которые будем домножать:
\[
\begin{aligned}
& P(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{x+20};\;\lim_{x\to{7}}P(x)=6.\\
& Q(x)=(x+2)^2+(x+2)\cdot\sqrt[3]{(x+2)^2}+\sqrt[3]{(x+20)^4};\;\lim_{x\to{7}}Q(x)=243.\\
& R(x)=\left(\sqrt[4]{x+9}+2\right)\cdot\left(\sqrt{x+9}+4\right);\;\lim_{x\to{7}}R(x)=32.
\end{aligned}
\]
\[\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{7}}\frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}=\\
=\lim_{x\to{7}}\frac{\left((x+2)^3-(x+20)^2\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}
=\lim_{x\to{7}}\frac{\left(x^3+5x^2-28x-392\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}=\\
=\lim_{x\to{7}}\frac{(x-7)\left(x^2+12x+56\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}\cdot{Q(x)}}
=\lim_{x\to{7}}\frac{\left(x^2+12x+56\right)\cdot{R(x)}}{P(x)\cdot{Q(x)}}
=\frac{189\cdot{32}}{6\cdot{243}}=\frac{112}{27}.
\]
Второй способ
При решении этим способом выражение под пределом требуется разбить на два и после преобразований рассмотреть два предела по отдельности. Я вновь введу сокращенные обозначения для сопряжённых выражений:
\[
\begin{aligned}
& P(x)=\sqrt{x+2}+3;\;\lim_{x\to{7}}P(x)=6.\\
& Q(x)=\sqrt[3]{(x+20)^2}+3\cdot\sqrt[3]{x+2}+9;\;\lim_{x\to{7}}Q(x)=27.\\
& R(x)=\left(\sqrt[4]{x+9}+2\right)\cdot\left(\sqrt{x+9}+4\right);\;\lim_{x\to{7}}R(x)=32.
\end{aligned}
\]
\[
\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-3-\sqrt[3]{x+20}+3}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\\
=\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}-\frac{\sqrt[3]{x+20}-3}{\sqrt[4]{x+9}-2}\right)=\\
=\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\left(\sqrt{x+2}-3\right)\cdot{P(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{P(x)}}-\frac{\left(\sqrt[3]{x+20}-3\right)\cdot{Q(x)}\cdot{R(x)}}{\left(\sqrt[4]{x+9}-2\right)\cdot{R(x)}\cdot{Q(x)}}\right)=\\
=\lim_{x\to{7}}\left(\frac{\left(x-7\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{P(x)}}-\frac{\left(x-7\right)\cdot{R(x)}}{\left(x-7\right)\cdot{Q(x)}}\right)
=\lim_{x\to{7}}\frac{R(x)}{P(x)}-\lim_{x\to{7}}\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{32}{6}-\frac{32}{27}=\frac{112}{27}.
\]
Третий способ
При решении этим способом применим асимптотические равенства. В принципе, можно решать данный предел в той форме, в какой он есть сейчас, однако удобно сперва сделать замену переменной, приняв \(\displaystyle{t=x-7}\) с тем расчётом, чтобы новая переменная \(\displaystyle{t\to{0}}\):
\[
\lim_{x\to{7}}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}=\left|\frac{0}{0}\right|
=\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt{9+t}-\sqrt[3]{27+t}}{\sqrt[4]{16+t}-2}
\]
\[
\begin{aligned}
& \sqrt{9+t}
=3\cdot\left(1+\frac{t}{9}\right)^{\frac{1}{2}}
=3\cdot\left(1+\frac{t}{2\cdot{9}}+o(t)\right)
=3+\frac{t}{6}+o(t);\\
& \sqrt[3]{27+t}
=3\cdot\left(1+\frac{t}{27}\right)^{\frac{1}{3}}
=3\cdot\left(1+\frac{t}{27\cdot{3}}+o(t)\right)
=3+\frac{t}{27}+o(t);\\
& \sqrt[4]{16+t}
=2\cdot\left(1+\frac{t}{16}\right)^{\frac{1}{4}}
=2\cdot\left(1+\frac{t}{16\cdot{4}}+o(t)\right)=2+\frac{t}{32}+o(t).
\end{aligned}
\]
\[
\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt{9+t}-\sqrt[3]{27+t}}{\sqrt[4]{16+t}-2}
=\lim_{t\to{0}}\frac{3+\frac{t}{6}+o(t)-\left(3+\frac{t}{27}+o(t)\right)}{2+\frac{t}{32}+o(t)-2}=\\
=\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{7t}{54}+o(t)}{\frac{t}{32}+o(t)}
=\lim_{t\to{0}}\frac{\frac{7}{54}+\frac{o(t)}{t}}{\frac{1}{32}+\frac{o(t)}{t}}
=\frac{\frac{7}{54}+0}{\frac{1}{32}+0}
=\frac{112}{27}
\]