Задача №1979
Условие
Найти предел \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdot\ldots\cdot(x+a_n)}-x\right)}\).
Решение
Вынося \(\displaystyle{x}\) за знак корня, приходим к необходимости замены переменной \(\displaystyle{x=\frac{1}{t}}\), \(\displaystyle{t\to{0+0}}\):
\[
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdot\ldots\cdot(x+a_n)}-x\right)
=\lim_{x\to+\infty}\left(x\cdot\left(\sqrt[n]{\left(1+a_1\cdot\frac{1}{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_n\cdot\frac{1}{x}\right)}-1\right)\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1\cdot\frac{1}{x}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_n\cdot\frac{1}{x}\right)}-1}{\frac{1}{x}}
=\left|\begin{aligned}&x=\frac{1}{t};\\&t\to{0+0}.\end{aligned}\right|
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1t\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_nt\right)}-1}{t}
\]
После раскрытия скобок в подкоренном выражении получим некий многочлен \(\displaystyle{b_nt^n+\ldots+b_1t+1}\). Обозначив \(\displaystyle{P_n(t)=b_nt^n+\ldots+b_1t}\), получим:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{\left(1+a_1t\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+a_nt\right)}-1}{t}
=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{P_n(t)+1}-1}{t}
\]
Предел такого вида уже был найден в 1968, нам останется лишь применить готовый результат:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[n]{P_n(t)+1}-1}{t}=\frac{b_1}{n}=\frac{a_1+\ldots+a_n}{n}.
\]
Ответ:
\(\displaystyle{ \frac{a_1+\ldots+a_n}{n} }\)Источники задачи
| Задачник №5 | Демидович "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" |
| Раздел №1 | Введение в анализ |
| Задача №465 |